Logik für Informatiker (WS 08/09)

Universität Augsburg
Prof. Dr. W. Vogler
Logik für Informatiker (WS 08/09)
Übungsblatt 8 (Abgabe bis 15.12.2008, 12:00 Uhr)
Aufgabe 1
Leiten Sie im Gentzen-Kalkül (s. Übungsblatt 7, Aufgabe 4) die Aussage
⊢G (A → B) → (¬A ∨ B)
her!
(6 Punkte)
Aufgabe 2
(5 Punkte)
Zeigen Sie folgende Behauptung für die Aussagenlogik mit Hilfe des Endlichkeits- / Kompaktheitssatzes.
M = {A1 , A2 , . . .} ist erfüllbar genau
Vn dann,
wenn für unendlich viele n ≥ 1 die Formel i=1 Ai erfüllbar ist.
V
(Dabei können Sie die Erfüllbarkeit von ni=1 Ai informell analog zu A1 ∧ A2 betrachten.)
Aufgabe 3
(3 Punkte)
Führen Sie die folgenden Substitutionen durch. Verwenden Sie als frische Variable für eine gebundene Umbenennung die Variable mit dem kleinstmöglichen Index aus der Menge
{x0 , x1 , . . .}. (Zwischenergebnisse werden nicht verlangt.)
1. (f (x0 ) = x1 ∧ P (x1 )) [f (x1 ) /x1 ]
2. (f (x0 ) = x1 ∧ P (x1 )) [g(x0 ) /x1 ] [f (x1 ) /x0 ]
3. (∀x1 (f (x1 ) = g(x0 ) ∧ ∀x0 P (x0 , x1 ))) [f (x1 ) /x0 ]
Aufgabe 4
(4 Punkte)
Geben Sie für die folgenden Formeln jeweils die freien und gebundenen Variablen an. Gehen
Sie formal vor, indem Sie schrittweise die Definition von FV bzw. BV anwenden. Sie müssen
dabei diese Definitionen erweitern, für ∧, ∨, ↔ analog zu → sowie für ∃x analog zu ∀x.
1. A1 ≡ 3 = x ∧ ∀x (P (f (y, x), z))
2. A2 ≡ ∀x (∀y (¬R(z, y) → P (x, y)))
Aufgabe 5
(4 Punkte)
Wir betrachten Punkte (und Kreise) in der rellen Ebene R2 . Der Einheitskreis ist der Kreis
mit Nullpunkt als Mittelpunkt und Radius 1.
Gegeben ist die Signatur (F, P) mit F := F 2 , F 2 := {add, mult} und P := ∅. Zusätzlich
gegeben ist die Interpretation I mit DI := R, die add bzw. mult durch die Addition bzw.
Multiplikation in den reellen Zahlen interpretiert.
Hinweis: Beachten Sie, dass die Signatur insbesondere keine Konstantensymbole enthält.
1. Wie kann man 1 mit Hilfe der gegebenen Mittel ausdrücken, d.h. geben Sie eine (F, P)Formel A mit FV (A) = {z} an, für die folgendes gilt:
I, β |= A ⇐⇒ β(z) = 1
2. Geben Sie eine (F, P)-Formel C mit FV (C) = {x, y} an, die ausdrückt, dass der Punkt
(x, y) auf dem Einheitskreis liegt; genauer:
I, β |= C ⇐⇒ Der Punkt (β(x), β(y)) liegt auf dem Einheitskreis.