Theoretische Informatik: Logik

Theoretische Informatik: Logik
WS 2010/2011
Blatt 10
bis Montag, den 24.01.2011, 15.45 Uhr, im Kasten neben den Postfächern
(bei Raum 0409, Fachschaft)
Es ist grundsätzlich erwünscht, dass die Übungsaufgaben in Gruppen (ca. 3-4 Studenten)
bearbeitet werden, jedoch soll jeder seine Lösung selbst aufschreiben. Bitte schreiben Sie auf
jedes Blatt Ihrer Lösung Ihren Namen, Ihre Matrikelnummer, Ihre Übungsgruppe und die
Namen Ihrer Kommilitonen, welche an den Lösungen mitgearbeitet haben.
Abgabe:
AUFGABE 1. Diese Aufgabe dient insbesondere zur Wiederholung von Grundbegriffen,
welche in der Vorlesung eingeführt und definiert wurden. Versuchen Sie sich diese vor dem
Lösen der Aufgabe selbst zu erklären und schlagen Sie gegebenenfalls Definitionen nach.
Gegeben sind die drei Formeln
ϕ1 := ∀x.∃y.P (h(y, x), f (x)),
ϕ2 := ∀x.∀y.P (x, y) → P (y, x),
ϕ3 := ∃x.P (f (a), h(x, a)).
(a) Zeigen Sie, dass ϕ3 eine Folgerung aus der Formelmenge {ϕ1 , ϕ2 } ist. Beginnen Sie mit
einer kurzen Beschreibung Ihres Lösungswegs.
(b) Geben Sie für ϕ1 zwei Herbrand-Strukturen H1 und H2 an. Dabei soll H1 die Formel ϕ1
erfüllen und H2 soll ϕ1 nicht erfüllen. Weiterhin soll die Interpretation des Prädikatssymbols P nicht trivial sein, sie soll also weder leer sein, noch alle möglichen Elemente
enthalten. Beachten Sie, dass man bei der Angabe einer Herbrand-Struktur von einem
skolemisierten Satz ausgeht.
AUFGABE 2. Sei τ eine Signatur, welche ausschließlich ein zweistelliges Relationssymbol
R enthält, und sei ϕ := (∀x.¬R(x, x)) ∧ (∀x.∀y.R(x, y) → R(y, x)).
(a) Begründen Sie, warum es unendlich viele nicht isomorphe Modelle von ϕ gibt.
(b) Wie viele nicht isomorphe Modelle hat ϕ, deren Universum die Größe 3 hat? Geben
Sie die entsprechenden Äquivalenzklassen bzgl. der Isomorphie an.
AUFGABE 3. Zeigen Sie: Für jeden F O∀ -Satz, deren Terme ausschließlich Konstanten
sind, ist die Erfüllbarkeit entscheidbar (vgl. dazu Theorem 16 von Folie 211). Geben Sie dazu
einen Algorithmus an, der für einen gegebenen F O∀ -Satz ϕ ja“ ausgibt, falls ϕ erfüllbar
”
ist und nein“ ausgibt, falls ϕ unerfüllbar ist. Begründen Sie kurz die Korrektheit Ihres
”
Algorithmus.