Probeklausur - Fakultät für Physik

T2 Quantenmechanik
Probeklausur
LMU München, WS 16/17
Prof. D. Lüst / Dr. A. Schmidt-May
Name:
Übungsleiter:
Aufgabe 1
a) Nennen Sie zwei Beispiele für Experimente oder Beobachtungen, die sich nicht durch
klassische Physik erklären lassen aber mithilfe der Quantenmechanik beschrieben
werden können. (2 Punkte)
b) Gegeben sei der Hilbert-Raum H = L2 (R3 ) mit dem üblichen Skalarprodunkt hφ|ψi.
Welche Gleichung erfüllt ein selbstadjungierter Operator? Nennen Sie zwei Beispiele
für selbstadjungierte Operatoren. (3 Punkte)
c) Gegeben sei ein Hilbert-Raum H mit Orthonormalbasis |ni, n = 1, . . . , d. Zeigen
Sie, dass die Koeffizienten cn der Darstellung eines beliebigen Zustands |ψi ∈ H in
dieser Basis gegeben sind durch cn = hn|ψi. (2 Punkte)
Aufgabe 2
Ein Hilbert-Raum werde aufgespannt von zwei Energie-Eigenzuständen |1i und |2i mit
entsprechenden Eigenwerten des Hamilton-Operators E1 und E2 . Das System befinde sich
zur Zeit t = 0 in einem Zustand |ψ(0)i.
a) Stellen Sie |ψ(0)i zur Zeit t = 0 in der Energie-Basis dar. (1 Punkt)
b) Wie entwickelt sich |ψ(t)i mit der Zeit? (1 Punkt)
c) Zu einem Messapparat gehöre der Zustand |φi = c1 |1i + c2 |2i. Mit welcher Wahrscheinlichkeit w(t) misst man den zu |φi gehörigen Messwert zur Zeit t? (3 Punkte)
d) Kann man durch wiederholte Messungen (also aus der Zeitabhängigheit des obigen
Ergebnisses) die Werte der Energien E1 und E2 bestimmen? Begründen Sie Ihre
Antwort. (1 Punkt)
−→
1.1
Aufgabe 3
Betrachten Sie den Operator
1
 = √
2
x̂
p̂
+i
x0
p0
(1.1)
mit x0 , p0 ∈ R, Ortsoperator x̂ und Impulsoperator p̂ auf dem Hilbert-Raum L2 (R).
a) Ist  hermitesch? Begründen Sie Ihre Antwort. (1 Punkt)
b) Welche Relationen müssen x0 und p0 erfüllen, damit [Â, † ] = 1 gilt? (2 Punkte)
c) Berechnen Sie die bis auf die Phase eindeutige, normierte Wellenfunktion ψ0 (x),
welche Âψ0 (x) = 0 erfüllt. (3 Punkte)
R
p
2
Hinweis: Das Gauß-Integral ist dx e−bx = πb
Aufgabe 4
Ein Teilchen der Masse m befinde sich im Grundzustand des unendlich tiefen Potenzialtopfes mit
(
0
für 0 ≤ x ≤ a
V (x) =
(1.2)
∞
sonst
Die Eigenfunktionen des entsprechenden Hamilton-Operators und ihre zugehörigen Energieeigenwerte lauten
r
nπx 2
n2 π 2 ~2
sin
mit En =
(1.3)
ψn (x) =
a
a
2ma2
Plötzlich dehnt sich der Topf auf die doppelte Breite aus, indem sich die rechte Wand
von a nach 2a bewegt. Wir nehmen an, dass dies die Wellenfunktion kurzzeitig ungestört
lässt. Nun wird die Energie des Teilchens gemessen.
a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, mit welcher der Energiewert Ẽn des breiteren Topfes gemessen wird. Beachten Sie, dass der Fall n = 2 beim Auswerten des
Integrals separat betrachtet werden muss. (9 Punkte)
Hinweis:
Es ist
sin(x) sin(y) = 12 [cos(x − y) − cos(x + y)]
b) Was ist das wahrscheinlichste Messergebnis? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,
diesen Energiewert zu messen? Wie verhält sich dieser Wert zum Eigenwert E1 des
Anfangszustands im ursprünglichen Potenzialtopf? (3 Punkte)
c) Was ist der Erwartungswert hĤi für die Energie im Anfangszustand? (Beachten Sie:
Die Beantwortung dieser Frage erfordert keine aufwändige Rechung!) (2 Punkte)
1.2