ai + bi|p

U.22 Minkowskische Ungleichung. Für alle reellen Zahlen a1 , . . . , an und b1 , . . . , bn
sowie p ≥ 1 gilt:
!p1 Ã n
!p1
à n
!p1 Ã n
X
X
X
≥
|ai |p +
|bi |p
|ai + bi |p .
i=1
i=1
(U.37)
i=1
Gleichheit ist genau dann erfüllt, wenn die |ai | und |bi | proportional sind, d. h.
|bi | = λ|ai |, λ ∈ R, für alle i gilt.
U.22 Beweis: Für p = 1 folgt die Behauptung direkt aus der Dreiecksungleichung (U.22). Im
Fall p > 1 wählen wir eine Zahl q > 1 derart, daß die Relation 1p + 1q = 1 erfüllt ist. Nehmen wir
die Höldersche Ungleichung (U.36) in der Form
n
X
|αi βi | ≤
i=1
Ã
n
X
!1 Ã
p
|αi |p
i=1
n
X
!1
q
|βi |q
i=1
p
p
und setzen einmal αi ≡ |ai |, βi ≡ |ai + bi | q und ein weiteres Mal αi ≡ |bi |, βi ≡ |ai + bi | q ein,
erhalten wir
!1
!1 Ã n
à n
n
p
q
X
X
X
p
|ai ||ai + bi | q ≤
|ai + bi |p
bzw.
(U.109)
|ai |p
i=1
n
X
i=1
i=1
p
q
|bi ||ai + bi | ≤
i=1
Wegen p = 1 +
p
q
Ã
n
X
!1 Ã
p
|bi |
p
i=1
n
X
!1
q
|ai + bi |
p
i=1
(U.110)
.
ist weiterhin für jedes i nach der Dreiecksungleichung
p
p
p
|ai + bi |p = |ai + bi ||ai + bi | q ≤ |ai ||ai + bi | q + |bi ||ai + bi | q .
(U.111)
Summieren wir über die Terme (U.111) und benutzen dabei (U.109) und (U.110), folgt
n
X
i=1
|ai + bi |p ≤
Ã
n
X
=
p
|ai |p
i=1
Ã
!1 Ã
n
X
i=1
!1
n
X
q
|ai + bi |p
i=1
p
|ai |p
+
!1
Ã
+
Ã
n
X
i=1
!1 Ã
p
|bi |p
n
X
i=1
!1  Ã n
!1
n
p
q
X
X
|bi |p 
|ai + bi |p .
i=1
!1
q
|ai + bi |p
(U.112)
i=1
Der zweite Faktor auf der rechten Seite von (U.112) verschwindet gewiß nicht (sonst wäre die
Behauptung offensichtlich), so daß nach Division durch diesen (U.37) folgt. ¤