U.21 Höldersche Ungleichung. Für alle nicht verschwindenden

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U.21 Höldersche Ungleichung. Für alle nicht verschwindenden reellen Zahlen a1 , . . . , an
und b1 , . . . , bn sowie positiven p, q > 1 mit 1p +
!p1 Ã n
!q1
à n
n
X
X
X
p
q
|ai |
|bi |
≥
|ai bi |.
i=1
i=1
1
q
= 1 gilt:
(U.36)
i=1
Gleichheit ist genau dann erfüllt, wenn |bi | = λ|ai |p−1 , λ ∈ R, für alle i gilt.
U.21 Beweis: Wir setzen in die verallgemeinerte Höldersche Ungleichung (U.34) m = 2,
p1 ≡ p1 , p2 ≡ 1q und |a1i | ≡ |ai |p , |a2i | ≡ |bi |q für alle i = 1, . . . , n ein. Gleichheit gilt demnach
für |ai |p ∝ |bi |q oder |bi | ∝ |ai |p−1 . ¤
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