U.26 Jensensche Ungleichung. Es sei f(x) eine konvexe Funktion im

U.26 Jensensche Ungleichung. Es sei f (x) eine konvexe Funktion im Intervall (a, b) und
x1 , x2 , . . . , xn beliebige Punkte darin. Weiterhin seien c1 , c2 , . . . , cn nichtnegative
Konstanten mit c1 + c2 + · · · + cn = 1. Dann gilt:
!
à n
n
X
X
c i xi .
(U.42)
ci f (xi ) ≥ f
i=1
i=1
Ist f streng konvex und außerdem jedes ci > 0, dann liegt Gleichheit genau für
x1 = x2 = · · · = xn vor.
U.26 Beweis: Wir führen den Beweis mit vollständiger Induktion. Für n = 2 folgt (U.42)
unmittelbar aus der Konvexität (U.41) von f (x). Angenommen, die zu beweisende Ungleichung
ist wahr für n = k und die Zahlen c1 , . . . , ck+1 addieren sich zu 1:
c1 + · · · + ck+1 = 1
bzw.
k
X
i=1
ci
= 1.
1 − ck+1
(U.114)
Dann ist
f
Ãk+1
X
i=1
ci xi
!
k
X
Ã
!
ci
= f (1 − ck+1 )
xi + ck+1 xk+1
1 − ck+1
i=1
à k
!
X
ci
≤ (1 − ck+1 )f
xi + ck+1 f (xk+1 )
1 − ck+1
i=1
wegen der Konvexität von f . Da die Zahlen ci /(1 − ck+1 ) für 1 ≤ i ≤ k sich nach (U.114)
ebenfalls zu 1 addieren, haben wir
à k
!
k
k
X
X
X
1
ci
ci
xi ≤
f (xi ) =
f
ci f (xi ),
1 − ck+1
1 − ck+1
1 − ck+1
i=1
i=1
i=1
also gilt (U.42) auch für n = k + 1 und der Induktionsbeweis ist geführt. ¤