und vT ≡ (b1,...,bn) bestehen aus nichtnegativen reellen Zahlen
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U.23 Cauchy-Schwarzsche Ungleichung. Angenommen, die Vektoren u T ≡ (a1 , . . . , an ) und v T ≡ (b1 , . . . , bn ) bestehen aus nichtnegativen reellen Zahlen. Dann gilt: à n !à n ! à n !2 X X X bzw. u2 v 2 ≥ (u · v)2 . (U.38) a2i b2i ≥ a i bi i=1 i=1 i=1 Gleichheit gilt genau dann, wenn entweder alle ai verschwinden (u = 0), alle bi verschwinden (v = 0), oder bi = λai , λ ∈ R, 1 ≤ i ≤ n, d. h. v = λu ist. U.23 Beweis: 1. Die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung (U.38) folgt durch Einsetzen von p = q = 2 in die Höldersche Ungleichung (U.36). ¤ 2. Viel klarer ist allerdings der Beweis über die Cauchy-Lagrange-Identität: !2 ! à n !à n à n X X X X (ai bj − aj bi )2 ≥ 0. ¤ ai bi = b2i − a2i i=1 i=1 i=1 1≤i<j≤n
