und vT ≡ (b1,...,bn) bestehen aus nichtnegativen reellen Zahlen

U.23 Cauchy-Schwarzsche Ungleichung. Angenommen, die Vektoren u T ≡ (a1 , . . . , an )
und v T ≡ (b1 , . . . , bn ) bestehen aus nichtnegativen reellen Zahlen. Dann gilt:
à n
!Ã n ! Ã n
!2
X
X
X
bzw.
u2 v 2 ≥ (u · v)2 .
(U.38)
a2i
b2i ≥
a i bi
i=1
i=1
i=1
Gleichheit gilt genau dann, wenn entweder alle ai verschwinden (u = 0), alle bi
verschwinden (v = 0), oder bi = λai , λ ∈ R, 1 ≤ i ≤ n, d. h. v = λu ist.
U.23 Beweis: 1. Die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung (U.38) folgt durch Einsetzen von
p = q = 2 in die Höldersche Ungleichung (U.36). ¤
2. Viel klarer ist allerdings der Beweis über die Cauchy-Lagrange-Identität:
!2
! Ã n
!Ã n
à n
X
X
X
X
(ai bj − aj bi )2 ≥ 0. ¤
ai bi =
b2i −
a2i
i=1
i=1
i=1
1≤i<j≤n