Zur (schriftlichen) Lösung von Afg. 18 (Blatt 3): Behauptung: Seien m
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Zur (schriftlichen) Lösung von Afg. 18 (Blatt 3): m+1 m Behauptung: Seien m, n ∈ Z. Ist n > m > 0, so ist > . n+1 n Bei einer solchen Aufgabe wird man in der Regel erst mal auf dem Schmierblatt versuchen, das gewünschte Ergebnis umzuformen und natürlich möglichst zu vereinfachen. Über Kreuz Multiplizieren liefert: n(m + 1) > m(n + 1), also nm + n > mn + m. Jetzt sieht man schon, was zu machen ist, und man kann den Beweis in der logisch korrekten Weise aufschreiben. Beweis: Nach Voraussetzung ist n > m. Dann ist aber auch nm + n > nm + m, bzw. n(m + 1) > m(n + 1). Weil n > 0 und n + 1 > 0 ist, kann man bei der gewonnenen Ungleichung auf beiden Seiten durch diese Zahlen dividieren. Das ergibt die neue Ungleichung (m + 1)/(n + 1) > m/n und damit schon das Endergebnis. Da die Argumente sehr einfach sind, kann man das Ganze noch kürzer formulieren: Beweis (2. Version): n>m =⇒ =⇒ =⇒ nm + n > nm + m n(m + 1) > m(n + 1) m m+1 > . n+1 n Tatsächlich lassen sich hier alle Implikations-Pfeile umkehren. Wenn man also weiß, was man tut, kann man auf die Vorüberlegung auf dem Schmierblatt verzichten und gleich mit Äquivalenzen arbeiten. Dann spielt auch die logische Schlussrichtung keine Rolle. Es sei aber gewarnt: In der Regel funktioniert das nicht so einfach wie hier. Beweis (3. Version): m+1 m > n+1 n ⇐⇒ ⇐⇒ (m + 1)n mn > ⇐⇒ (m + 1)n > m(n + 1) n+1 n mn + n > mn + m ⇐⇒ n > m. Ich persönlich empfinde es aber als Nachteil, wenn man die logische Schlussrichtung nicht mehr erkennen kann.
