2 Der Ring der ganzen Zahlen

§2 Der Ring der ganzen Zahlen
Die additive Gruppe der ganzen Zahlen.
Zielvorstellung. Die ganzen Zahlen sollen eine abelsche Gruppe (G, +) bilden, welche N umfaßt und so daß gilt:
(i) Jedes Element aus G schreibt sich in der Form a − b mit a, b ∈ N.
(ii) 0 ∈ N ist das neutrale Element von G.
Es folgt: Sind a, b, c, d ∈ N so gilt
(∗)
a − b = c − d in G ⇐⇒ a + d = c + b in N.
Wir wollen uns eine Gruppe mit diesen Eigenschaften schaffen.
Betrachte die Menge N×N = {(a, b) | a ∈ N und b ∈ N} der Paare natürlicher
Zahlen. Führe auf N × N eine Äquivalenzrelation ein; dabei soll am Ende die
Äquivalenzklasse von (a, b) der Zahl a − b in der zu konstruierenden Gruppe
G entsprechen.
Definition. Die Paare (a, b) und (c, d) aus N × N heißen äquivalent, wenn
a + d = b + c.
Schreibe dann (a, b) ∼ (c, d) “.
”
2.1 Bemerkung. ∼ ist eine Äquivalenzrelation, d.h.
(1) (a, b) ∼ (a, b)
(Reflexivität)
(2) (a, b) ∼ (c, d) =⇒ (c, d) ∼ (a, b) (Symmetrie)
(3) (a, b) ∼ (c, d) und (c, d) ∼ (e, f ) =⇒ (a, b) ∼ (e, f ) (Transitivität)
Beweis. (1) und (2) sind klar.
(3) (a, b) ∼ (c, d) ∼ (e, f ) =⇒ a + d = c + b und c + f = e + d
=⇒ a + d + f = b + c + f = b + d + e. Nach der Kürzungsregel 1.7a) folgt
a + f = b + e, d.h. (a, b) ∼ (e, f ).
Seien a, b ∈ N.
Definition. Die Menge [a, b] := {(c, d) | (a, b) ∼ (c, d)} nennt man die
Äquivalenzklasse von (a, b) modulo ∼.
Also ist [a, b] = [c, d] ⇐⇒ (a, b) ∼ (c, d) ⇐⇒ a + d = c + b.
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Wir bezeichnen Z := Menge der Äquivalenzklassen modulo ∼
= {[a, b] | (a, b) ∈ N × N} als Menge der ganzen Zahlen.
Heuristische Überlegung. In der zu konstruierenden Gruppe G soll gelten:
s.o
a − b = c − d ⇐⇒ a + d = c + b ⇐⇒ [a, b] = [c, d]. Identifiziere daher a − b
mit [a, b]. Bei der Addition auf G sollte gelten:
(a − b) + (c − d) = (a + c) − (b + d).
Nachdem a − b mit [a, b] identifiziert ist bedeutet die letzte Gleichung: [a, b] +
[c, d] = [a + c, b + d]. Wir erheben dies zur Definition der Addition auf G.
Definition. [a, b] + [c, d] := [a + c, b + d] (Addition ganzer Zahlen.)
Es ist zu zeigen, daß dies eine sinnvolle Definition ist, d.h. [a, b] = [a0 , b0 ] und
[c, d] = [c0 , d0 ] impliziert [a + c, b + d] = [a0 + c0 , b0 + d0 ]. Der Nachweis wird
dem Hörer (Leser) überlassen.
2.2 Satz. (Z, +) ist eine abelsche Gruppe mit Null= [0, 0] und −[a, b] = [b, a].
Beweis. Assoziativ- und Kommutativgesetz übertragen sich sofort von N auf
Z.
[a, b] + [0, 0] = [a + 0, b + 0] = [a, b]
[a, b] + [b, a] = [a + b, a + b] = [0, 0] denn (a + b) + 0 = 0 + (a + b)
Einbettung von N in Z. Betrachte die Abbildung
l : N −→ Z,
a 7−→ [a, 0]
2.3 Satz. Die Abbildung l ist injektiv und mit der Addtion verträglich“,
”
d.h.: l(a + b) = l(a) + l(b). Man kann daher (N, +) als Teilmenge von (Z, +)
auffassen indem man a für [a, 0] schreibt.
Beweis. [a, 0] = [b, 0] =⇒ a + 0 = b + 0 =⇒ a = b, also ist l injektitiv.
[a, 0] + [b, 0] = [a + b, 0 + 0] = [a + b, 0].
2.4 Satz. Fasse N gemäß 2.3 als Teilmenge von Z auf. (Schreibe a für [a, 0].)
Für a, b ∈ N ist dann [a, b] = a − b und es gilt
˙
˙ >0
Z = (−N>0 )∪{0}
∪N
(N>0 := {n ∈ N | n 6= 0}, −M = {−m | m ∈ M } für M ⊆ N.)
Beweis. a − b = [a, 0] + (−[b, 0]) = [a, 0] + [0, b] = [a, b]. Nach 1.8 gilt in N
genau eine der Relationen a = b, a < b, b < a
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a = b : [a, b] = [a, a] = [0, 0] = 0
a < b : b = a + x, x ∈ N>0 =⇒ [a, b] = [0, x] = −[x, 0] = −x ∈ −N>0
b < a : a = b + y, y ∈ N>0 =⇒ [a, b] = [y, 0] = y ∈ N0
Multiplikation ganzer Zahlen. Nach 2.4 ist [a, b] = a − b.
Heuristische Vorüberlegung. (Z, +, ·) soll ein Ring werden, also muß
nach dem Distributiv- und Assoziativgesetz gelten:
[a, b] · [c, d] = (a − b)(c − d) = (ac + bd) − (ad + bc) = [ac + bd, ad + bc]
. Wir definieren daher:
Definition. [a, b] · [c, d] := [ac + bd, ad + bc]
(Dies ist die Fortsetzung der Multiplikation auf N ⊆ Z :
[a, 0] · [c, 0] = [ac + 0, a · 0 + 0·] = [ac, 0] = ac.)
Wie man leicht nachrechnet, gilt
2.5 Regel. Seien a, b ∈ N. Dann gilt:
a) (−1)a = −a
b) (−a)b = −ab
c) a(−b) = −ab
d) (−a)(−b) = ab
2.6 Satz (Z, +, ·) ist ein nullteilerfreier Ring mit Einselement 1 und Nullelement 0.
Beweis. Die Nullteilerfreiheit gilt nach 1.13 und 2.5. Zeige noch als Beispiel
das Distributivgesetz in Z:
[a, b]([c, d] + [e, f ]) = [a, b][c + e, d + f ] =
[(ac + ae) + (bd + bf ), (ad + af ) + (bc + be)] =
[ac + bd, ad + bc] + [ae + bf, af + be] = [a, b][c, d]+
+[a, b][e, f ]
Die Anordnung der ganzen Zahlen.
Definition. Für x, y ∈ Z sei
x ≤ y :⇐⇒ y − x ∈ N
x < y :⇐⇒ x ≤ y und x 6= y( d.h. y − x ∈ N>0 )
2.7 Satz. ≤ “ ist eine lineare Ordnung auf Z, welche die Ordnung auf N
”
fortsetzt. Sie ist monoton, d.h.
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(1) Aus x ≤ y folgt x + z ≤ y + z (für alle x, y, z ∈ Z).
(2) Ist z ∈ N so folgt aus x ≤ y schon x · z ≤ y · z.
Beweis. Seien a, b ∈ N. Gilt a ≤ b in N, so ist b = a + x, x ∈ N, also
b−a = x ∈ N, d.h. a ≤ b in Z (und umgekehrt). Also ist ≤“eine Fortsetzung
”
der Ordnung von N auf Z.
Reflexivität. Aus x − x = 0 ∈ N folgt x ≤ x.
Antisymmetrie. x ≤ y und y ≤ x =⇒ y − x ∈ N und x − y ∈ N
2.4
=⇒ y − x ∈ N und y − x = −(x − y) ∈ N =⇒ y − x ∈ N ∩ (−N) = {0}
=⇒ y = x.
Transitivität. Sei x ≤ y und y ≤ z. Dann ist y − x ∈ N und z − y ∈ N
z − x = (z − y) + (y − x) ∈ N =⇒ x ≤ z.
Lineararität. Sei x 6≤ y. Zu zeigen y ≤ x.
2.4
Aus x 6≤ y folgt y − x 6∈ N =⇒ y − x = −a, a ∈ N =⇒
x − y = −(y − x) = −(−a) = a ∈ N =⇒ y ≤ x.
Monotomie.
(1) x ≤ y =⇒ y − x ∈ N =⇒ (y + z) − (x + z) = y − x ∈ N =⇒ x + z ≤ y + z
(2) x ≤ y und z ≥ 0 =⇒ y − x ∈ N und z ∈ N =⇒ (y − x) · z ∈ N, d.h.
yz − xz ∈ N =⇒ xz ≤ yz.
Übungsaufgabe. Für a ∈ Z nennt man
a falls a ≥ 0
|a| :=
−a falls a < 0
den Betrag von a. Zeigen Sie, daß für alle a, b ∈ Z
| − a| = |a|, |a| ≥ 0, |a| = 0 =⇒ a = 0, |ab| = |a||b| und |a + b| ≤ |a| + |b|
Damit ist Kapitel I, §1 neubegründet worden. Wir werden daher hinfort alles
verwenden, was wir in den Kapiteln I und II über die ganzen Zahlen gelernt
haben.
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