Teil 4

3.3 Wissenschaftsorientiertes Unterrichtskonzept
3.3.1 Der Weg der Lernenden in die Mathematik
Die "Kreativitätsspirale" <F
Folien>
Man kann also auf dem Weg in die Mathematik 3 Phasen erkennen:
*
die HEURISTISCHE
*
die EXAKTIFIZIERENDE
*
die ANWENDUNGSPHASE
Schwerpunkt des wissenschaftsorientierten Unterrichtskonzeptes ist die exaktifizierende Phase. Dies bedeutet
jedoch nicht, daß wie in vielen fachwissenschaftlichen Lehrverabstaltungen der Universität am Anfang des
Lernprozesses ein Axiomensystem steht und danach durch deduktives Schließen ein Satzgebäude bewiesen wird.
Auch für den wissenschaftsorientierten Ansatz in der Schule gilt, daß die Schüler Mathematik "in statu nascendi"
erfahren sollen. Das bedeutet im Sinne der Kreativitätsspirale ein Vorgehen in folgenden Stufen:
vom heuristischen Vorgehen

zum exakten Beweisen
vom induktiven Schließen

zum deduktiven Schließen
Im Vergleich zum genetischen Konzept bedeutet das wissenschaftsorientierte Konzept also keinen Gegensatz,
sondern einen anderen Schwerpunkt.
Ziele basierend auf der Bildungs- und Lehraufgabe des Faches Mathemtik:
-
Ausbildung des exakten, kritischen Denkens.
-
Förderung der Fähigkeit des logischen Schließens.
-
Dialogfähigkeit, Argumentationsfähigkeit, Urteilsvermögen.
-
Einblick in die Arbeitsweise der Mathematik und der mathematichen Forschung.
3.3.2 Die heuristische Phase
Wenn die kristallisierte, deduktive Form das letzte Ziel ist, so sind Intuition und Konstruktion die
treibenden Kräfte.
Heuristik  ars inveniendi  Findungskust
ist die Lehre von den Wegen zur Gewinnung wissenschaftlicher Erkenntnis
Typische Denkweise: Plausibles Schließen - das dem logischen Schließen vorangehende Suchen und Finden. der
Wahrheitswert von Sätzen, die durch plausibles Schließen gewonnen werden, ist meist unsicher. Statt Wahrheit,
zuerst einmal Glaubwürdigkeit.
Heuristische Strategien:
Induktives Schließen: Verallgemeinerndes Schließen vom Einzelfall auf den allgemeinen Fall.
Anschauliches Schließen
Umstrukturieren
Analogisieren
Spezialisieren
Generalisieren
Heuristische Regeln:
Verändere die Bedingungen!
Betrachte Extremfälle!
Führe die Aufgabe auf etwas Bekanntes zurück!
Suche Zusammenhänge auf!
Gehe auf die Definition zurück!
3.3.3 Die exaktifizierende Phase
Die heuristische Phase führt zu Vermutungen, eine sichere Erkenntnis gewinnt man erst durch den Beweis.
Ein Beweis im wissenschaftlichen Sinn ist eine Ableitung einer Aussage aus Axiomen und schon
bewiesenen Sätzen, die gemäß den Regeln der Logik erfolgt.
In der Schulmathematik geht man eher selten von Axiomen aus. Häufiger gewinnt man erste Sätze anschaulich
aus konkreten Aufgaben und weitere werden dann auf dieser unvollkommenen Grundlage bewiesen. Trotzdem ist
dieser Aspekt des Mathematiklernens von Bedeutung, denn logische Zusammenhänge zwischen verschiedenen
Sätzen und Satzgruppen der jeweils betrachteten Disziplin können dadurch sichtbar gemacht werden. dasc
erfassen dieser Zusammenhänge ist für den Lernenden zumindest genauso wichtig wie das Verständnis der Sätze
selbst [Claus, 1989, S 129ff].
Als Vorbereitung auf das Universitätsstudium sollten die Schüler aber wenigstens einmal auch eine solche kurze
Beweiskette aufbauend auf einem Axiomensystem erleben.
Der Weg zum Beweisen:
-
Berufung auf Autoritäten.
-
Induktives Schließen (siehe heuristische Phaase).
-
Reduktives Schließen (siehe Naturwissenschaften): Anführen von Aussagen, die allgemein als
gesichert angesehen werden und in gewissem Zusammenhang mit der Richtigkeit der Behauptung
stehen. Erhärtung der Theorie durch Folgerungen daraus, die experimentell überprüfbar sind.
Deduktives Schließen (siehe Beweisen im engeren Sinn)
-
Phasen des "Beweisen Lernens":
(1)
Finden einer Argumentationsbasis
(2)
Präzisieren unscharfer Begriffe
(3)
Erkennen falscher Aussagen
(4)
Hinzufügen weiterer Sätze und Definitionen
(5)
Begründen unmittelbar klarer Aussagen unter Heranziehung anderer Argumente der Argumentationsbasis.
(6)
Erkennen der Unzulänglichkeit und Unzuverlässigkeit von Aussgen und Schlußweisen.
(7)
Vertrautwerden mit den wichtigsten Schlußweisen:
Direkter Beweis
Indireketr Beweis
Vollständige Induktion
(8)
Wechsel der Argumentationsbasis, Vergleich verschiedener Basen
(9)
Arbeiten mit Axiomensystemen
Besprechen des Wesens solcher Systeme, Beweisketten.