Vollständige Induktion

Vollständige Induktion - (Induktionsbeweis)
Diese Beweismethode fußt auf folgender Struktur der natürlichen Zahlen:
Jede natürliche Zahl hat einen Nachfolger, und jede natürliche Zahl wird
„getroffen“, wenn – von 1 ausgehend – von Nachfolger zu Nachfolger
„gesprungen“ wird.
Manchmal möchte man Dinge beweisen, die für jede natürliche Zahl gelten
sollen. Ein bekanntes Beispiel für eine derartige Aussage ist:
Für alle natürlichen Zahlen n gilt: Die Summe aller natürlichen Zahlen von 1
bis n ist n(n+1)/2.
Um die für eine natürliche Zahl n gemachte Aussage An für alle n zu
beweisen, müssen wir zweierlei tun:
i. nachweisen, dass A1 wahr ist (Induktionsanfang), und
ii. zeigen, dass wenn Ak für eine natürliche Zahl k 1 (probeweise
angenommen) wahr ist (Induktionsannahme), dann auch A k1
wahr ist (Induktionsschluss).
Gelingt dies, dann ist der Satz An für alle natürlichen Zahlen n bewiesen,
denn ausgehend von k =1 ist mit ii. die Richtigkeit von An für alle n gezeigt.
Im Allgemeinen bezeichnet man den Schritt ii. als Induktionsschritt.
Der Beweis von i. ist selten ein Problem. Bei unserem Beispiel erfolgt er
durch Einsetzen:
i. A1 ist wahr, denn die Summe von 1 bis 1 ist 111/ 2=1 .
ii. nun gelte die obige Formel für ein beliebiges k 1 - dann folgt für k 1 :
 k 1⋅ k 1 1   k 1⋅ k 2
=
. Sie ist also auch richtig für Ak1 . Q.e.d.
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Weiteres Beispiel:
Die Bernoulli-Ungleichung lautet: Für alle reellen Zahlen x−1, x≠0 und
alle n≥2 gilt: 1xn  1n⋅x
Beweis durch Induktion:
i. Induktionsanfang: Die Anfangszahl n= 2 ist richtig wegen
 1x 2=1 2x  x21 2x (ein Quadrat ist immer positiv!)
Beachte: für n=1 ist die Aussage falsch. Hier ergibt sich die Gleichheit.
ii. Nach Induktionsannahme treffe A k nun für irgendein k ≥2 zu. D. h.
es sei  1x k 1k⋅x .
Induktionsschluss: Wir multiplizieren mit  1x  und erhalten:
1xk 11k⋅x ⋅1x =1xkxkx 2=1k1xkx 21k 1 x
nach Induktionsannahme
Das war zu zeigen.
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Q.e.d.