Induktivität Beispiel für vollständige Induktion Definition: Eine Menge M heißt induktiv : (i) 1 ∈𝑀 (ii) 𝑥 ∈𝑀 2 𝑥+1 ∈𝑀 Bemerkung: 1. ℝ , 𝑥 ∈ ℝ 𝑥 > 0 sind induktive Mengen 2. Durchschnitt beliebig vieler induktiver Mengen ist induktiv ℕ≔ 𝑀 ∈𝐹 𝑀 ⊂ ℝ ist die Menge der natürlichen Zahlen (iii) (iv) ∀𝑛 ∈ℕ∶𝑛 ≥1 ∀ 𝑚, 𝑛 ∈ ℕ, 𝑚 > 𝑛 ∶ 𝑚 − 𝑛 ≥ 1 ∅ ≠𝑀 ⊂ ℕ 𝑀 besitzt ein kleinstes Element ℕ ist nicht nach oben beschränkt Vollständige Induktion Die Aussage 𝐴(𝑛) sei für alle natürlichen Zahlen 𝑛 ≥ 𝑛0 definiert und es gelte: (i) (ii) 𝐴(𝑛0 ) ist richtig Ist 𝐴(𝑘) richtig für 𝑘 = 𝑛0 , 𝑛0 + 1, … , 𝑛 𝐴(𝑛 + 1) ist richtig Dann ist 𝐴(𝑛) richtig ∀ 𝑛 ∈ ℕ, 𝑛 ≥ 𝑛0 Archimedische Eigenschaft von ℕ (i) (ii) Beweis: Induktionsanfang (IA) mit A(1) = 1 stimmt Induktionsvoraussetzung (IV): A(n) stimmt für ein bestimmtes n, d.h. 𝑛 𝑖= 𝑖=1 𝐹 ≔ {𝑀 ⊂ ℝ 𝑀 𝑖𝑠𝑡 𝑖𝑛𝑑𝑢𝑘𝑡𝑖𝑣} Definition: Satz: (i) (ii) Satz: Für alle natürlichen Zahlen n gilt: Die Summe der 1 ersten n natürlichen Zahlen ist gleich 𝑛(𝑛 + 1). ∀ 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, 𝑎, 𝑏 > 0, ∃𝑛 ∈ ℕ ∶ 𝑛 ∙ 𝑎 > 𝑏 1 ∀ℰ > 0, ∃𝑛 ∈ ℕ ∶ 𝑛 < 𝐸 1 𝑛(𝑛 + 1) 2 Induktionsschritt(IS): A(n + 1) stimmt auch 𝑛+1 𝑛 𝑖= 𝑖=1 1 𝑖+ 𝑛+1 = 𝑛 𝑛+1 + 𝑛+1 2 𝑖=1 1 = 𝑛+1 𝑛+2 2