Analyis I -III (HD Donder)

Analyis I -III (H-D Donder)
Mitgeschrieben von Bernhard Weiss
Mitschrift aus dem WiSe 2007/08
1
INHALTSVERZEICHNIS
Inhaltsverzeichnis
I
1
1
Mengen, Funktionen, Zahlen
Eine Menge wird festgelegt durch Angabe ihrer Elemente
Bsp.: {2, 3, 9}
Die leere Menge ∅
{n|n ist gerade natürliche Zahl}
Wir schreiben a ∈ A für ’a ist Element von A’
Für Mengen A, B definiere:
A ⊂ B ( A Teilmenge von B) ⇔ ∀a ∈ A : a ∈ B
Es gilt also: A = B ⇔ A ⊂ B und B ⊂ A
Mengenoperationen:
A ∩ B = {x|x ∈ A und x ∈ B}
A ∪ B = {x|x ∈ A oder x ∈ B}
A \ B = {x|x ∈ A und x ∈
/ B}
Elementare Gesetze, z.B.:
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
A \ (B ∪ C) = (A \ B) ∩ (A \ C)
Setze noch: P(C) = {A|A ⊂ C} Potenzmenge von C
Spezielle Mengen:
N= Menge der Natürlichen Zahlen (einschließlich 0)
Z= Menge aller Ganzen Zahlen
Q= Mengen aller Rationalen Zahlen
R= Menge aller Reelen Zahlen
Es gilt also: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R
Wir setzen das übliche Rechnen mit diesen Zahlen als bekannt voraus.
Sind am , am+1 , . . . , an ∈ R so schreiben wir:
n
X
ak = am + am+1 + . . . + an
k=m
n
Y
ak = am · am+1 · . . . · an
k=m
Konvention:
m−1
X
ak = 0 (leere Summe)
k=m
m−1
Y
ak = 1 (leeres Produkt)
k=m
Ein wichtiges Beweisprinzip für Nist die vollständige Induktion. Dieses Prinzip besinnt
sich auf die folgende Minimalität von N:
Sei A ⊆ N mit den beiden Eigenschaften:
2
1 MENGEN, FUNKTIONEN, ZAHLEN
1. 0 ∈ A
2. ∀n ∈ A gilt: n + 1 ∈ A
Dann ist A = N
Wollen wir also zeigen, dass alle n ∈ N eine gegebene Eigenschat Abesitzen, so genügt
es zwei Dinge zu Zeigen:
Induktionsanfang 0 hat die Eigenschaft A
Induktionsschritt falls n die Eigenschaft Ahat(Induktionsvoraussetzung) hat auch
n+1 die Eigenschaft A
Dann setze A = {n ∈ N|n hat die Eigenschaft A}
Dann erfüllt A die Eigenschaften 1) und 2) ⇒A = N
Beispiel
P
Für alle n ∈ N gilt: nk=0 k =
Durch Induktion:
n·(n+1)
2
P0
k = 0 = 0·1
2
Pn
Pn+1
Induktionsschritt
k=0 +(n + 1) =
k=0 k =
Induktionsanfang
(n+2)(n+1)
2
k=0
n(n+1)
2
+ (n + 1) =
n(n+1)+2(n+1)
2
Biomenialkoeffizient:
Seien
k, n ∈ N setze:
n
= Anzahl der k-elementigen Teilmengen von {0, . . . , n − 1}
k
Offenbar gilt:
1. nk = 0 für k > n
2. n0 = nn = 1
3. n1 = n
4.
n
k
=
Lemma 1
Beweis:
Sei
Sei
Sei
Sei
n
n−k
∀k ≤ n
=
n+1
k+1
n
k
+
n
k+1
n
Ist k > n, so: n+1
= 0 = nk + k+1
k+1
nun k ≤ n:
A = Menge aller (k+1)-elementigen Teilmengen von {0, . . . , n}
B = Menge aller k-elementigen Teilmengen von {0, . . . , n − 1}
C = Menge aller (k+1)-elementigen Teilmengen von {0, . . . , n − 1}
=
3
Dann gilt:
A = {b∪ {n}|b∈ B}
∪{n}|b ∈ B} ∩ C = ∅
∪C und{b
n
n
{n + 1
=
+
Also:
k
k+1
k + 1}
| {z } | {z } | {z }
=|A|
=|B|
=|C|
Q
Definition: Für n ∈ N setze: n! = nk=1 k
n!
Lemma 2 Für k ≤ n gilt: nk = k!(n−k)!
Beweis: (Durch Induktion nach n)
Induktionsanfang
0
0
=1=
0!
0!·0!
=1
n+1
(n+1)!
Induktionsschritt Ist k = 0, so 0 = 1 0!(n+1)!
Sei also
k>
0 n I.V.
n+1
n
n!
n!
=
+ k = (n−1)!(n−(k−1))!
+ k!(n−k)!
=
k
k−1
n!k+n!(n+1)−k)
k!((n+1)−k)!
=
(n+1)!
k!((n+1)−k)!
Satz 3 Binomischer Satz
Seien x, y ∈ R Dann gilt ∀n ∈ N:
n X
n n−k k
x y
(x + y) =
k
k=0
n
Beweis: Induktionsanfang: (x + y)0 = 1 =
0
0
0 0
x ·y =1
P
Induktionsschritt: (x + y)n+1 = (x + y)(x + y)n = (x + y) nk=0 nk xn−k y k
n+1−k k Pn
n−k k+1
n+1−k Pn−1
Pn
Pn
n
n
n
n+1
y + k=0
x
y
=
x
+
k=0 k x
k=1
k
n−(k−1) kk x k+1+ k=0
P
P
n
y k+1 = xn+1 + nk=1 nk xn+1−k + nk=1 k−1
x
y +y
= xn+1
Pn
P
n
n
)xn+1−k y k + y n+1 = xn+1 + nk=1 n+1
xn+1−k y k + y n+1
k=1 ( k +
k−1
k
Pn+1 n+1 (n+1)−k k
x
y
k=0
k
P
Insbesonder gilt für x=y=1: 2n = (1 + 1)n = nk=0 nk = |P({0, . . . , n − 1})|
=
n−k k+1
n
x y +
k
+
=
Wir setzen die reelen Zahlen als gegeben voraus. Alle Eigenschaften von Rlassen sich
auf wenige Axiome zurückführen, die wir angeben
Wir haben auf Rzwei Verknüpfungen: + (Addition) und · (Multiplikation) und zwei
ausgezeichnete Elemente 0, 1 ∈ R, für die gilt:
(K0) 0 6= 1
(K1) ∀x, y, z ∈ R : (x + y) + z = x + (y + z) (Assoziativität von (+))
(K2) ∀x, y ∈ R : x + y = y + x (Kommutativität von (+))
(K3) ∀x ∈ R : x + 0 = x (0 Neutrales Element von (+))
4
1 MENGEN, FUNKTIONEN, ZAHLEN
(K4) ∀x ∈ R : ∃y ∈ R mit x + y = 0 (Existenz des Inversen bzgl. (+))
(K5) ∀x, y, z ∈ R : (x · y) · z = x · (y · z) (Assoziativität von (·))
(K6) ∀x, y ∈ R : xy = yx (Kommutativität von (·))
(K7) ∀x ∈ R : x · 1 = x (1 Neutrales Element von (·))
(K8) ∀x 6= 0 ∈ R∃y ∈ R mit xy = 1(Multiplikatives Invers)
(K9) ∀x, y, z ∈ R : x(y + z) = xy + xz (Distributivität)
Das Element y in (K4) ist durch x eindeutig bestimmt. Denn sei x+y = 0 und x+z =
0:
(K2)
(K1)
K3
K2
y = y + 0 = 0 + y = (x + z) + y = (z + x) + y = z + (x + y) = z + 0 = z
Wir setzen y = -x Außerdem schreiben für u-v für u + (-v)
Analog ist das y in (K8) durch x eindeutig bestimmt.
Wir setzen y = x−1 oder auch x1
Außerdem schreiben wir falls v 6= 0 : uv für uv −1
Die Eigenschaften (K0) bis (K9) besagen, dass Rein Körper ist.
Weiterhin haben wir auf Reine Relation < für die gilt:
(A1) ∀x ∈ R gilt nicht: x < x (irreflexiv)
(A2) ∀x, y, z ∈ R gilt: x < y und y < z ⇒x < z (Transitivität)
(A3) ∀x, y ∈ R gilt: x < y oder y = x oder y < x (Totalität)
(A4) ∀x, y, z ∈ R gilt: x < y ⇒x+z < y+z (Monotonie von +)
(A5) ∀x, y, z ∈ R gilt: x < y und 0 < z ⇒xz < yz (gehemmte Monotonie von ·)
Diese zusätzlichen Axiome besagen, dass Rein angeordneter Körper ist.
Es folgt dann, dass Rdurch < dicht geordnet ist, d.h. es gilt:
∀x, z ∈ R mit x < z∃y ∈ R mit x < y < z
Beweis: Setze y = 12 (x + z)
Nach (A4) ist 2x = x + x < y + z und x + z < z + z = 2z
Wir wollen nun mit 21 multiplizieren und (A5) anwenden. Hierzu brauchen wir,
dass 0 < 21 . Hab wir dies sind wir dies sind wir fertig.
Nun ist aber 0 < 1. Denn andernfalls ist nach