Vollständige Induktion

Vollständige Induktion
Die vollständige Induktion ist eine Beweismethode, um eine für alle natürliche Zahlen
formulierte Aussage zu beweisen. Zum Beispiel:
•
Pn
i=1 (2i
− 1) = n2 , d.h. 1 + 3 + 5 + . . . + (2n − 1) = n2 für alle n ∈ N.
• Für alle n ∈ N ist 32n+4 − 2n−1 durch 7 teibar.
Um den Beweis zu erbringen, geht man folgendermaÿen vor:
1. Induktionsanfang: Man zeigt die Behauptung für n = 1.
2. Induktionsschritt: Man nimmt an, die Aussage sei für ein gewisses nichtpräzisiertes n ∈ N wahr und zeigt davon ausgehend die Aussage für n + 1.
Sind beide Schritte erfolgreich durchgeführt, so ist die Behauptung für alle natürlichen
Zahlen n ∈ N gezeigt.
n
X
Beispiel 1:
(2i − 1) = n2
i=1
Induktionsanfang: Für n = 1 beträgt die linke Seite 2 · 1 − 1 = 1 ebenso wie die rechte
Seite. Damit stimmt die Aussage für n = 1 und der Induktionsanfang ist erledigt.
Induktionsschritt: Es gelte die Aussage für ein n ∈ N, d.h. es gelte
Zu zeigen ist die Aussage für n + 1, also
Pn
i=1 (2i − 1)
= n2 .
n+1
X
(2i − 1) = (n + 1)2
i=1
Wir verizieren:
n+1
X
n
X
i=1
i=1
(2i − 1) =
(2i − 1) + 2(n + 1) − 1 = n2 + 2n + 1 = (n + 1)2
Folglich stimmt die Aussage für n + 1.
Der Induktionsbeweis ist damit durchgeführt, d.h. wir haben bewiesen, dass die Behauptung für alle n ∈ N gilt.
1
Beispiel 2:
32n+4 − 2n−1 ist durch 7 teibar
Induktionsanfang: Es gilt 32·1+4 − 21−1 = 728 = 7 · 104, d.h. die Behauptung für n = 1
stimmt.
Induktionsschritt: Wir nehmen an, die Aussage gelte für ein n ∈ N, also 32n+4 −2n−1 =
7m für ein m ∈ N. Dann folgt:
32(n+1)+4 − 2(n+1)−1 = 32n+4 · 9 − 2n
= (7m + 2n−1 ) · 9 − 2n
= 7 · 9m + 9 · 2n−1 − 2n
= 7 · 9m + (9 − 2) · 2n−1
= 7 · (9m + 2n−1 )
Da 9m + 2n−1 eine natürliche Zahl ist, ist 32(n+1)+4 − 2(n+1)−1 durch 7 teilbar und der
Induktionsschritt ist vollzogen.
Beispiel 3:
n
X
i=1
n
1
=
(3i − 2)(3i + 1)
3n + 1
Induktionsanfang: Für n = 1 beträgt die linke Seite
rechte Seite, d.h. die Behauptung stimmt für n = 1.
1
(3−2)(3+1)
=
1
4
ebenso wie die
Induktionsschritt: Wir nehmen an, die Aussage gelte für ein n ∈ N. Dann folgt:
n+1
X
i=1
n
X
1
1
1
=
+
(3(i − 1) + 1)(3i + 1)
(3(i − 1) + 1)(3i + 1) (3n + 1)(3n + 4)
i=1
=
=
=
=
=
n
1
+
3n + 1 (3n + 1)(3n + 4)
n(3n + 4) + 1
3n2 + 4n + 1
=
(3n + 1)(3n + 4)
(3n + 1)(3n + 4)
(3n + 1)(n + 1)
(3n + 1)(3n + 4)
n+1
3n + 4
n+1
3(n + 1) + 1
2