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Lineare Algebra I
Vorlesung 02
24.10.2005
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∅ × N = M × ∅ = ∅.
Eine Menge M heißt endlich, wenn M endlich viele Elemente hat. Wir schreiben in diesem Fall: |M | := Anzahl
der Elemente von M .
Vollständige Induktion. Die vollständige Induktion ist eine Beweismethode, die auf folgender Eigenschaft
von N beruht:
(I) Sei A ⊆ N. Dann gilt: Ist 1 ∈ A und ist für jedes n ∈ A auch n + 1 ∈ A, dann ist A = N.
Behauptungen der Form „Für alle n ∈ N gilt A(n)“ lassen sich nach folgendem Schema beweisen.
• Induktionsanfang: Zeige: A(1) ist richtig.
• Induktionsschritt: Annahme: A(n) ist richtig. Zeige unter dieser Annahme: A(n + 1) ist richtig.
Dann gilt A(n) für alle n ∈ N, denn die Menge A := {n ∈ N | A(n) ist richtig} erfüllt die Voraussetzungen von
(I) und ist somit gleich N.
Beispiel.
(a) Sei x ∈ R, x > −1. Für alle n ∈ N gilt: (1 + x)n ≥ 1 + nx.
• Induktionsanfang: (1 + x)1 = 1 + x ≥ 1 + x = 1 + 1 · x ist richtig.
• Induktionsschritt: Es gelte (1 + x)n ≥ 1 + nx. Dann folgt
(1 + x)n+1 = (1 + x)(1 + x)n ≥ (1 + x)(1 + nx) = 1 + nx + x + nx2 ≥ 1 + x + nx
= 1 + (n + 1)x.
(Begründungen: (1 + x) ≥ 0 Voraussetzung, (1 + x)n ≥ 1 + nx Induktionsvoraussetzung, nx2 ≥ 0.)
(b) Der Induktionsanfang ist wichtig. Wir behaupten etwa: Für alle n ∈ N gilt:
n
X
i=1
i=
(n + 21 )2
.
2
• Induktionsschritt:
n+1
X
i=
n
X
i=1
i=1
i + (n + 1) =
(n + 21 )2
n2 + n + 14 + 2n + 2
n2 + 3n +
+ (n + 1) =
=
2
2
2
(n + 23 )2
((n + 1) + 12 )2
=
.
2
2
Wo liegt der Fehler?
=
Bemerkung. Es ist nicht nötig, bei 1 zu beginnen.
1
9
4
www.sigma-mathematics.de/semester6/linalg1/vorlesungen/vorlesung02.pdf
§2
2
Abbildungen
(1.2) Definition. Seien M, N Mengen. Eine Abbildung f von M nach N ist eine „Vorschrift“, die jedem x ∈ M
genau ein Element f (x) ∈ N zuordnet. Schreibweise: f : M → N, x 7→ f (x). M heißt Definitionsbereich von f ,
N heißt Wertebereich von f . x ∈ M heißt ein Urbild von f (x) ∈ N , f (x) ∈ N heißt das Bild von x ∈ M .
(1.3) Beispiel. (a) f : N → R, n 7→ n2 . Oft benutzen wir für Folgen (d.h. Abbildungen mit Definitionsbereich
N) die Schreibweise
a1 , a2 , a3 , . . . , an , . . . mit an := f (n) für alle n ∈ N,
so dass unsere obige Abbildung geschrieben werden könnte als
1, 4, 9, 16, . . .
(b) Die Addition in Z ist eine Abbildung Z × Z → Z, (x, y) 7→ x + y.
(c) M Menge. idM : M → M, x 7→ x heißt die Identität auf M .
Vorschrift? Zuordnung? Präzisere Definition von Abbildung:
Eine Abbildung f : M → N ist eine Teilmenge f ⊆ M × N mit:
(a) Zu jedem x ∈ M existiert ein y ∈ N mit (x, y) ∈ f .
(b) Aus (x, y) ∈ f und (x, y ′ ) ∈ f folgt y = y ′ .
Ist (x, y) ∈ f , so schreiben wir y =: f (x). Eine Abbildung f besteht also aus
• M : Definitionsbereich,
• N : Wertebereich,
• {(Element x ∈ M, Bild von x unter f )}.
(1.4) Definition und Beispiel. Sei M Menge (z.B. M = R).
(a) Für n ∈ N sei n = {1, 2, . . . , n} ⊆ N (das Anfangsstück der Länge n von N, z.B. 3 = {1, 2, 3}.
(b) Ein n-Tupel mit Werten in M ist eine Abbildung t : n → M . Wie bei Folgen verwenden wir für n-Tupel t
die Schreibweise t1 , t2 , . . . , tn , meist mit√Klammern (t1 , t2 , . . . , tn ), wobei wir ti √
:= t(i), i = 1, . . . , n gesetzt
haben. Z.B. t : 3 → R, t(1) = 0, t(2) = 3, t(3) = − 12 , wird geschrieben als (0, 3, − 12 ).
(1.5) Definition. Sei f : M → N eine Abbildung.
(a) Für X ⊆ M heißt f (X) := {f (x) | x ∈ X} = {y ∈ N | es existiert ein x ∈ X mit y = f (x)} ⊆ N das
Bild von X.
(b) Für Y ⊆ N heißt f −1 (Y ) := {x ∈ M | f (x) ∈ Y } ⊆ M } das (volle) Urbild von Y (die Schreibweise f −1
hat nichts mit einer Umkehrabbildung zu tun). Die Mengen f −1 ({y}) ⊆ M , y ∈ N heißen die Fasern von
f.
(c) f heißt surjektiv, falls f (M ) = N .
b
b
b
b
b
M
N
f heißt injektiv, falls gilt: Sind x, x′ ∈ M mit f (x) = f (x′ ), dann ist x = x′ . (Jedes y ∈ N hat höchstens
ein Urbild. Die Fasern von f haben höchstens ein Element.)
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b
b
b
b
b
M
N
f heißt bijektiv, falls f injektiv und surjektiv ist.
b
b
b
M
b
b
b
N
3