Grundbegriffe der Informatik

Übung zu “Grundbegriffe der Informatik”
Übung zu Grundbegriffe der Informatik
Simon Wacker
25.10.2013
1/16
Mengen
◮
Eine Menge A stelle man sich als ein Behältnis vor, welches
Objekte enthält und durch diese eindeutig bestimmt ist.
◮
Ein Objekt x, welches in A enthalten ist heißt Element von A.
◮
Für ein Objekt x sei x ∈ A genau dann wahr, wenn x ein
Element von A ist.
◮
Zwei Mengen A und B sind folglich genau dann gleich, wenn
(∀a ∈ A : a ∈ B) ∧ (∀b ∈ B : b ∈ A).
In diesem Falle schreiben wir A = B.
◮
Die eindeutig bestimmte leere Menge bezeichnen wir mit ∅.
◮
Ein Element einer Menge kann selbst eine Menge sein.
2/16
Mengen
◮
Eine Menge A stelle man sich als ein Behältnis vor, welches
Objekte enthält und durch diese eindeutig bestimmt ist.
◮
Ein Objekt x, welches in A enthalten ist heißt Element von A.
◮
Für ein Objekt x sei x ∈ A genau dann wahr, wenn x ein
Element von A ist.
◮
Zwei Mengen A und B sind folglich genau dann gleich, wenn
(∀a ∈ A : a ∈ B) ∧ (∀b ∈ B : b ∈ A).
In diesem Falle schreiben wir A = B.
◮
Die eindeutig bestimmte leere Menge bezeichnen wir mit ∅.
◮
Ein Element einer Menge kann selbst eine Menge sein.
2/16
Mengen
◮
Eine Menge A stelle man sich als ein Behältnis vor, welches
Objekte enthält und durch diese eindeutig bestimmt ist.
◮
Ein Objekt x, welches in A enthalten ist heißt Element von A.
◮
Für ein Objekt x sei x ∈ A genau dann wahr, wenn x ein
Element von A ist.
◮
Zwei Mengen A und B sind folglich genau dann gleich, wenn
(∀a ∈ A : a ∈ B) ∧ (∀b ∈ B : b ∈ A).
In diesem Falle schreiben wir A = B.
◮
Die eindeutig bestimmte leere Menge bezeichnen wir mit ∅.
◮
Ein Element einer Menge kann selbst eine Menge sein.
2/16
Mengen
◮
Eine Menge A stelle man sich als ein Behältnis vor, welches
Objekte enthält und durch diese eindeutig bestimmt ist.
◮
Ein Objekt x, welches in A enthalten ist heißt Element von A.
◮
Für ein Objekt x sei x ∈ A genau dann wahr, wenn x ein
Element von A ist.
◮
Zwei Mengen A und B sind folglich genau dann gleich, wenn
(∀a ∈ A : a ∈ B) ∧ (∀b ∈ B : b ∈ A).
In diesem Falle schreiben wir A = B.
◮
Die eindeutig bestimmte leere Menge bezeichnen wir mit ∅.
◮
Ein Element einer Menge kann selbst eine Menge sein.
2/16
Mengen
◮
Eine Menge A stelle man sich als ein Behältnis vor, welches
Objekte enthält und durch diese eindeutig bestimmt ist.
◮
Ein Objekt x, welches in A enthalten ist heißt Element von A.
◮
Für ein Objekt x sei x ∈ A genau dann wahr, wenn x ein
Element von A ist.
◮
Zwei Mengen A und B sind folglich genau dann gleich, wenn
(∀a ∈ A : a ∈ B) ∧ (∀b ∈ B : b ∈ A).
In diesem Falle schreiben wir A = B.
◮
Die eindeutig bestimmte leere Menge bezeichnen wir mit ∅.
◮
Ein Element einer Menge kann selbst eine Menge sein.
2/16
Mengen
◮
Eine Menge A stelle man sich als ein Behältnis vor, welches
Objekte enthält und durch diese eindeutig bestimmt ist.
◮
Ein Objekt x, welches in A enthalten ist heißt Element von A.
◮
Für ein Objekt x sei x ∈ A genau dann wahr, wenn x ein
Element von A ist.
◮
Zwei Mengen A und B sind folglich genau dann gleich, wenn
(∀a ∈ A : a ∈ B) ∧ (∀b ∈ B : b ∈ A).
In diesem Falle schreiben wir A = B.
◮
Die eindeutig bestimmte leere Menge bezeichnen wir mit ∅.
◮
Ein Element einer Menge kann selbst eine Menge sein.
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Mengennotation (1)
◮
Mengen notiert man meist mit den Mengenklammern { und },
wobei man innerhalb dieser Klammern genau die Elemente
angibt, welche die Menge enthält:
◮
P = {2, 3, 5, 7} oder N0 = {0, 1, 2, 3, . . . }.
◮
Für jedes Objekt x sei A(x) entweder wahr oder falsch und für
jedes Objekt x, für welches A(x) wahr ist, sei f (x) ein
weiteres Objekt. Dann enthält
{f (x) | A(x)}
gerade jene Objekte y für welche ein x existiert derart, dass
A(x) wahr ist und f (x) = y gilt. Beispielsweise ist
{2x | x 6= 0 ∧ x ∈ N0 }
die Menge aller geraden Zahlen.
3/16
Mengennotation (1)
◮
Mengen notiert man meist mit den Mengenklammern { und },
wobei man innerhalb dieser Klammern genau die Elemente
angibt, welche die Menge enthält:
◮
P = {2, 3, 5, 7} oder N0 = {0, 1, 2, 3, . . . }.
◮
Für jedes Objekt x sei A(x) entweder wahr oder falsch und für
jedes Objekt x, für welches A(x) wahr ist, sei f (x) ein
weiteres Objekt. Dann enthält
{f (x) | A(x)}
gerade jene Objekte y für welche ein x existiert derart, dass
A(x) wahr ist und f (x) = y gilt. Beispielsweise ist
{2x | x 6= 0 ∧ x ∈ N0 }
die Menge aller geraden Zahlen.
3/16
Mengennotation (1)
◮
Mengen notiert man meist mit den Mengenklammern { und },
wobei man innerhalb dieser Klammern genau die Elemente
angibt, welche die Menge enthält:
◮
P = {2, 3, 5, 7} oder N0 = {0, 1, 2, 3, . . . }.
◮
Für jedes Objekt x sei A(x) entweder wahr oder falsch und für
jedes Objekt x, für welches A(x) wahr ist, sei f (x) ein
weiteres Objekt. Dann enthält
{f (x) | A(x)}
gerade jene Objekte y für welche ein x existiert derart, dass
A(x) wahr ist und f (x) = y gilt. Beispielsweise ist
{2x | x 6= 0 ∧ x ∈ N0 }
die Menge aller geraden Zahlen.
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Mengennotation (2)
Aufgepasst: Nicht alles so notierbare ist eine Menge! Keine Menge
ist beispielweise
Q = {x | x ist eine Menge und x ∈
/ x}.
Wäre Q eine Menge, so wäre die widersprüchliche Aussage
Q ∈ Q ⇐⇒ Q ∈
/ Q wahr.
4/16
Mengenbeziehungen und -operationen
Es seien A und B zwei Mengen.
◮
Teilmengenbeziehung: A ⊆ B ⇐⇒ ∀a ∈ A : a ∈ B.
◮
Durchschnitt: A ∩ B = {x | (x ∈ A) ∧ (x ∈ B)}.
◮
Vereinigung: A ∪ B = {x | (x ∈ A) ∨ (x ∈ B)}.
◮
Differenz: A \ B = {x | (x ∈ A) ∧ (x ∈
/ B)}.
◮
Kartesisches Produkt: A × B = {(a, b) | (a ∈ A) ∧ (b ∈ B)}.
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Mengenbeziehungen und -operationen
Es seien A und B zwei Mengen.
◮
Teilmengenbeziehung: A ⊆ B ⇐⇒ ∀a ∈ A : a ∈ B.
◮
Durchschnitt: A ∩ B = {x | (x ∈ A) ∧ (x ∈ B)}.
◮
Vereinigung: A ∪ B = {x | (x ∈ A) ∨ (x ∈ B)}.
◮
Differenz: A \ B = {x | (x ∈ A) ∧ (x ∈
/ B)}.
◮
Kartesisches Produkt: A × B = {(a, b) | (a ∈ A) ∧ (b ∈ B)}.
5/16
Mengenbeziehungen und -operationen
Es seien A und B zwei Mengen.
◮
Teilmengenbeziehung: A ⊆ B ⇐⇒ ∀a ∈ A : a ∈ B.
◮
Durchschnitt: A ∩ B = {x | (x ∈ A) ∧ (x ∈ B)}.
◮
Vereinigung: A ∪ B = {x | (x ∈ A) ∨ (x ∈ B)}.
◮
Differenz: A \ B = {x | (x ∈ A) ∧ (x ∈
/ B)}.
◮
Kartesisches Produkt: A × B = {(a, b) | (a ∈ A) ∧ (b ∈ B)}.
5/16
Mengenbeziehungen und -operationen
Es seien A und B zwei Mengen.
◮
Teilmengenbeziehung: A ⊆ B ⇐⇒ ∀a ∈ A : a ∈ B.
◮
Durchschnitt: A ∩ B = {x | (x ∈ A) ∧ (x ∈ B)}.
◮
Vereinigung: A ∪ B = {x | (x ∈ A) ∨ (x ∈ B)}.
◮
Differenz: A \ B = {x | (x ∈ A) ∧ (x ∈
/ B)}.
◮
Kartesisches Produkt: A × B = {(a, b) | (a ∈ A) ∧ (b ∈ B)}.
5/16
Mengenbeziehungen und -operationen
Es seien A und B zwei Mengen.
◮
Teilmengenbeziehung: A ⊆ B ⇐⇒ ∀a ∈ A : a ∈ B.
◮
Durchschnitt: A ∩ B = {x | (x ∈ A) ∧ (x ∈ B)}.
◮
Vereinigung: A ∪ B = {x | (x ∈ A) ∨ (x ∈ B)}.
◮
Differenz: A \ B = {x | (x ∈ A) ∧ (x ∈
/ B)}.
◮
Kartesisches Produkt: A × B = {(a, b) | (a ∈ A) ∧ (b ∈ B)}.
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Relationen
◮
Eine Relation R zwischen A und B ist eine Teilmenge des
kartesischen Produktes A × B.
◮
Ein Element a ∈ A steht in Relation R zu einem Element
b ∈ B genau dann, wenn (a, b) ∈ R. In diesem Falle schreiben
wir meist aRb.
◮
Beispiel aus der Welt der Zahlen: Die “kleiner als”-Relation
< ⊆ Z × Z auf den ganzen Zahlen Z ist gegeben durch
< = {(x, y ) ∈ Z × Z | ∃z ∈ N+ : x + z = y }
und wir schreiben x < y anstelle von (x, y ) ∈ <.
◮
Beispiele aus der Softwareverifikation/-sicherheit:
Erreichbarkeits- und Datenflussrelationen auf dem
Zustandsraum eines Programms.
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Relationen
◮
Eine Relation R zwischen A und B ist eine Teilmenge des
kartesischen Produktes A × B.
◮
Ein Element a ∈ A steht in Relation R zu einem Element
b ∈ B genau dann, wenn (a, b) ∈ R. In diesem Falle schreiben
wir meist aRb.
◮
Beispiel aus der Welt der Zahlen: Die “kleiner als”-Relation
< ⊆ Z × Z auf den ganzen Zahlen Z ist gegeben durch
< = {(x, y ) ∈ Z × Z | ∃z ∈ N+ : x + z = y }
und wir schreiben x < y anstelle von (x, y ) ∈ <.
◮
Beispiele aus der Softwareverifikation/-sicherheit:
Erreichbarkeits- und Datenflussrelationen auf dem
Zustandsraum eines Programms.
6/16
Relationen
◮
Eine Relation R zwischen A und B ist eine Teilmenge des
kartesischen Produktes A × B.
◮
Ein Element a ∈ A steht in Relation R zu einem Element
b ∈ B genau dann, wenn (a, b) ∈ R. In diesem Falle schreiben
wir meist aRb.
◮
Beispiel aus der Welt der Zahlen: Die “kleiner als”-Relation
< ⊆ Z × Z auf den ganzen Zahlen Z ist gegeben durch
< = {(x, y ) ∈ Z × Z | ∃z ∈ N+ : x + z = y }
und wir schreiben x < y anstelle von (x, y ) ∈ <.
◮
Beispiele aus der Softwareverifikation/-sicherheit:
Erreichbarkeits- und Datenflussrelationen auf dem
Zustandsraum eines Programms.
6/16
Relationen
◮
Eine Relation R zwischen A und B ist eine Teilmenge des
kartesischen Produktes A × B.
◮
Ein Element a ∈ A steht in Relation R zu einem Element
b ∈ B genau dann, wenn (a, b) ∈ R. In diesem Falle schreiben
wir meist aRb.
◮
Beispiel aus der Welt der Zahlen: Die “kleiner als”-Relation
< ⊆ Z × Z auf den ganzen Zahlen Z ist gegeben durch
< = {(x, y ) ∈ Z × Z | ∃z ∈ N+ : x + z = y }
und wir schreiben x < y anstelle von (x, y ) ∈ <.
◮
Beispiele aus der Softwareverifikation/-sicherheit:
Erreichbarkeits- und Datenflussrelationen auf dem
Zustandsraum eines Programms.
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Abbildungen (1)
◮
Eine Abbildung f von A nach B ist eine linkstotale und
rechtseindeutige Relation, das heißt, eine Relation für die gilt:
∀a ∈ A ∃!b ∈ B : (a, b) ∈ f .
◮
Wir schreiben f : A → B und nennen A den Definitionsbereich
und B den Wertebereich von f .
◮
Anstelle von (a, b) ∈ f schreiben wir in der Regel f (a) = b.
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Abbildungen (1)
◮
Eine Abbildung f von A nach B ist eine linkstotale und
rechtseindeutige Relation, das heißt, eine Relation für die gilt:
∀a ∈ A ∃!b ∈ B : (a, b) ∈ f .
◮
Wir schreiben f : A → B und nennen A den Definitionsbereich
und B den Wertebereich von f .
◮
Anstelle von (a, b) ∈ f schreiben wir in der Regel f (a) = b.
7/16
Abbildungen (1)
◮
Eine Abbildung f von A nach B ist eine linkstotale und
rechtseindeutige Relation, das heißt, eine Relation für die gilt:
∀a ∈ A ∃!b ∈ B : (a, b) ∈ f .
◮
Wir schreiben f : A → B und nennen A den Definitionsbereich
und B den Wertebereich von f .
◮
Anstelle von (a, b) ∈ f schreiben wir in der Regel f (a) = b.
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Abbildungen (2)
◮
Das Bild von f ist die Menge
f (A) = {f (a) | a ∈ A} ⊆ B.
◮
f ist genau dann injektiv, wenn
∀a1 ∈ A ∀a2 ∈ A : a1 6= a2 ⇒ f (a1 ) 6= f (a2 )
oder äquivalent
∀b ∈ f (A) ∃!a ∈ A : f (a) = b.
◮
f ist genau dann surjektiv, wenn
∀b ∈ B ∃a ∈ A : f (a) = b
oder äquivalent
f (A) = B.
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Abbildungen (2)
◮
Das Bild von f ist die Menge
f (A) = {f (a) | a ∈ A} ⊆ B.
◮
f ist genau dann injektiv, wenn
∀a1 ∈ A ∀a2 ∈ A : a1 6= a2 ⇒ f (a1 ) 6= f (a2 )
oder äquivalent
∀b ∈ f (A) ∃!a ∈ A : f (a) = b.
◮
f ist genau dann surjektiv, wenn
∀b ∈ B ∃a ∈ A : f (a) = b
oder äquivalent
f (A) = B.
8/16
Abbildungen (2)
◮
Das Bild von f ist die Menge
f (A) = {f (a) | a ∈ A} ⊆ B.
◮
f ist genau dann injektiv, wenn
∀a1 ∈ A ∀a2 ∈ A : a1 6= a2 ⇒ f (a1 ) 6= f (a2 )
oder äquivalent
∀b ∈ f (A) ∃!a ∈ A : f (a) = b.
◮
f ist genau dann surjektiv, wenn
∀b ∈ B ∃a ∈ A : f (a) = b
oder äquivalent
f (A) = B.
8/16
Computertomographie (Medizinische Informatik)
◮
A sei die Menge der Körper, die in unseren
Computertomographen passen
◮
B sei die Menge der möglichen Messungen, wobei wir für
einen Körper den Abfall der Strahlenintensität aus vielen
Winkeln messen
◮
f : A → B sei die Abbildung, die für jeden Körper a ∈ A das
Messergebnis f (a) ∈ B bei Durchführung der
Computertomographie liefert (wir schließen Messfehler der
Einfachheit halber aus)
◮
f sollte injektiv sein. Denn wäre f nicht injektiv, so gäbe es
ein Messergebnis b ∈ B, welches von mindestens zwei
verschiedenen Körpern a1 ∈ A oder a2 ∈ A herrühren könnte.
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Computertomographie (Medizinische Informatik)
◮
A sei die Menge der Körper, die in unseren
Computertomographen passen
◮
B sei die Menge der möglichen Messungen, wobei wir für
einen Körper den Abfall der Strahlenintensität aus vielen
Winkeln messen
◮
f : A → B sei die Abbildung, die für jeden Körper a ∈ A das
Messergebnis f (a) ∈ B bei Durchführung der
Computertomographie liefert (wir schließen Messfehler der
Einfachheit halber aus)
◮
f sollte injektiv sein. Denn wäre f nicht injektiv, so gäbe es
ein Messergebnis b ∈ B, welches von mindestens zwei
verschiedenen Körpern a1 ∈ A oder a2 ∈ A herrühren könnte.
9/16
Computertomographie (Medizinische Informatik)
◮
A sei die Menge der Körper, die in unseren
Computertomographen passen
◮
B sei die Menge der möglichen Messungen, wobei wir für
einen Körper den Abfall der Strahlenintensität aus vielen
Winkeln messen
◮
f : A → B sei die Abbildung, die für jeden Körper a ∈ A das
Messergebnis f (a) ∈ B bei Durchführung der
Computertomographie liefert (wir schließen Messfehler der
Einfachheit halber aus)
◮
f sollte injektiv sein. Denn wäre f nicht injektiv, so gäbe es
ein Messergebnis b ∈ B, welches von mindestens zwei
verschiedenen Körpern a1 ∈ A oder a2 ∈ A herrühren könnte.
9/16
Computertomographie (Medizinische Informatik)
◮
A sei die Menge der Körper, die in unseren
Computertomographen passen
◮
B sei die Menge der möglichen Messungen, wobei wir für
einen Körper den Abfall der Strahlenintensität aus vielen
Winkeln messen
◮
f : A → B sei die Abbildung, die für jeden Körper a ∈ A das
Messergebnis f (a) ∈ B bei Durchführung der
Computertomographie liefert (wir schließen Messfehler der
Einfachheit halber aus)
◮
f sollte injektiv sein. Denn wäre f nicht injektiv, so gäbe es
ein Messergebnis b ∈ B, welches von mindestens zwei
verschiedenen Körpern a1 ∈ A oder a2 ∈ A herrühren könnte.
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Aussagenlogik: Syntax
◮
◮
A sei die Menge der aussagenlogischen Variablen;
beispielweise A = {A, B, C }.
Die Menge aller aussagenlogischen Formeln F ist induktiv
definiert durch
◮
◮
◮
◮
◮
A ∈ F für jedes A ∈ A (Induktionsanfang),
(¬F ) ∈ F für jedes F ∈ F (Induktionsschritt),
(F ∧ G ) ∈ F für alle F , G ∈ F (Induktionsschritt),
(F ∨ G ) ∈ F für alle F , G ∈ F (Induktionsschritt),
(F ⇒ G ) ∈ F für alle F , G ∈ F (Induktionsschritt).
◮
Für die Variablen A = {A, B, C } ist ((A ∧ B) ⇒ (¬C )) eine
aussagenlogische Formel.
◮
Dank unserer Vorrangregeln, wie beispielsweise ∧ bindet
stärker als ⇒, können wir oft auf Klammerung verzichten.
10/16
Aussagenlogik: Syntax
◮
◮
A sei die Menge der aussagenlogischen Variablen;
beispielweise A = {A, B, C }.
Die Menge aller aussagenlogischen Formeln F ist induktiv
definiert durch
◮
◮
◮
◮
◮
A ∈ F für jedes A ∈ A (Induktionsanfang),
(¬F ) ∈ F für jedes F ∈ F (Induktionsschritt),
(F ∧ G ) ∈ F für alle F , G ∈ F (Induktionsschritt),
(F ∨ G ) ∈ F für alle F , G ∈ F (Induktionsschritt),
(F ⇒ G ) ∈ F für alle F , G ∈ F (Induktionsschritt).
◮
Für die Variablen A = {A, B, C } ist ((A ∧ B) ⇒ (¬C )) eine
aussagenlogische Formel.
◮
Dank unserer Vorrangregeln, wie beispielsweise ∧ bindet
stärker als ⇒, können wir oft auf Klammerung verzichten.
10/16
Aussagenlogik: Syntax
◮
◮
A sei die Menge der aussagenlogischen Variablen;
beispielweise A = {A, B, C }.
Die Menge aller aussagenlogischen Formeln F ist induktiv
definiert durch
◮
◮
◮
◮
◮
A ∈ F für jedes A ∈ A (Induktionsanfang),
(¬F ) ∈ F für jedes F ∈ F (Induktionsschritt),
(F ∧ G ) ∈ F für alle F , G ∈ F (Induktionsschritt),
(F ∨ G ) ∈ F für alle F , G ∈ F (Induktionsschritt),
(F ⇒ G ) ∈ F für alle F , G ∈ F (Induktionsschritt).
◮
Für die Variablen A = {A, B, C } ist ((A ∧ B) ⇒ (¬C )) eine
aussagenlogische Formel.
◮
Dank unserer Vorrangregeln, wie beispielsweise ∧ bindet
stärker als ⇒, können wir oft auf Klammerung verzichten.
10/16
Aussagenlogik: Syntax
◮
◮
A sei die Menge der aussagenlogischen Variablen;
beispielweise A = {A, B, C }.
Die Menge aller aussagenlogischen Formeln F ist induktiv
definiert durch
◮
◮
◮
◮
◮
A ∈ F für jedes A ∈ A (Induktionsanfang),
(¬F ) ∈ F für jedes F ∈ F (Induktionsschritt),
(F ∧ G ) ∈ F für alle F , G ∈ F (Induktionsschritt),
(F ∨ G ) ∈ F für alle F , G ∈ F (Induktionsschritt),
(F ⇒ G ) ∈ F für alle F , G ∈ F (Induktionsschritt).
◮
Für die Variablen A = {A, B, C } ist ((A ∧ B) ⇒ (¬C )) eine
aussagenlogische Formel.
◮
Dank unserer Vorrangregeln, wie beispielsweise ∧ bindet
stärker als ⇒, können wir oft auf Klammerung verzichten.
10/16
Aussagenlogik: Syntax
◮
◮
A sei die Menge der aussagenlogischen Variablen;
beispielweise A = {A, B, C }.
Die Menge aller aussagenlogischen Formeln F ist induktiv
definiert durch
◮
◮
◮
◮
◮
A ∈ F für jedes A ∈ A (Induktionsanfang),
(¬F ) ∈ F für jedes F ∈ F (Induktionsschritt),
(F ∧ G ) ∈ F für alle F , G ∈ F (Induktionsschritt),
(F ∨ G ) ∈ F für alle F , G ∈ F (Induktionsschritt),
(F ⇒ G ) ∈ F für alle F , G ∈ F (Induktionsschritt).
◮
Für die Variablen A = {A, B, C } ist ((A ∧ B) ⇒ (¬C )) eine
aussagenlogische Formel.
◮
Dank unserer Vorrangregeln, wie beispielsweise ∧ bindet
stärker als ⇒, können wir oft auf Klammerung verzichten.
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Aussagenlogik: Syntax
◮
◮
A sei die Menge der aussagenlogischen Variablen;
beispielweise A = {A, B, C }.
Die Menge aller aussagenlogischen Formeln F ist induktiv
definiert durch
◮
◮
◮
◮
◮
A ∈ F für jedes A ∈ A (Induktionsanfang),
(¬F ) ∈ F für jedes F ∈ F (Induktionsschritt),
(F ∧ G ) ∈ F für alle F , G ∈ F (Induktionsschritt),
(F ∨ G ) ∈ F für alle F , G ∈ F (Induktionsschritt),
(F ⇒ G ) ∈ F für alle F , G ∈ F (Induktionsschritt).
◮
Für die Variablen A = {A, B, C } ist ((A ∧ B) ⇒ (¬C )) eine
aussagenlogische Formel.
◮
Dank unserer Vorrangregeln, wie beispielsweise ∧ bindet
stärker als ⇒, können wir oft auf Klammerung verzichten.
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Aussagenlogik: Syntax
◮
◮
A sei die Menge der aussagenlogischen Variablen;
beispielweise A = {A, B, C }.
Die Menge aller aussagenlogischen Formeln F ist induktiv
definiert durch
◮
◮
◮
◮
◮
A ∈ F für jedes A ∈ A (Induktionsanfang),
(¬F ) ∈ F für jedes F ∈ F (Induktionsschritt),
(F ∧ G ) ∈ F für alle F , G ∈ F (Induktionsschritt),
(F ∨ G ) ∈ F für alle F , G ∈ F (Induktionsschritt),
(F ⇒ G ) ∈ F für alle F , G ∈ F (Induktionsschritt).
◮
Für die Variablen A = {A, B, C } ist ((A ∧ B) ⇒ (¬C )) eine
aussagenlogische Formel.
◮
Dank unserer Vorrangregeln, wie beispielsweise ∧ bindet
stärker als ⇒, können wir oft auf Klammerung verzichten.
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Aussagenlogik: Syntax
◮
◮
A sei die Menge der aussagenlogischen Variablen;
beispielweise A = {A, B, C }.
Die Menge aller aussagenlogischen Formeln F ist induktiv
definiert durch
◮
◮
◮
◮
◮
A ∈ F für jedes A ∈ A (Induktionsanfang),
(¬F ) ∈ F für jedes F ∈ F (Induktionsschritt),
(F ∧ G ) ∈ F für alle F , G ∈ F (Induktionsschritt),
(F ∨ G ) ∈ F für alle F , G ∈ F (Induktionsschritt),
(F ⇒ G ) ∈ F für alle F , G ∈ F (Induktionsschritt).
◮
Für die Variablen A = {A, B, C } ist ((A ∧ B) ⇒ (¬C )) eine
aussagenlogische Formel.
◮
Dank unserer Vorrangregeln, wie beispielsweise ∧ bindet
stärker als ⇒, können wir oft auf Klammerung verzichten.
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Aussagenlogik: Syntax
◮
◮
A sei die Menge der aussagenlogischen Variablen;
beispielweise A = {A, B, C }.
Die Menge aller aussagenlogischen Formeln F ist induktiv
definiert durch
◮
◮
◮
◮
◮
A ∈ F für jedes A ∈ A (Induktionsanfang),
(¬F ) ∈ F für jedes F ∈ F (Induktionsschritt),
(F ∧ G ) ∈ F für alle F , G ∈ F (Induktionsschritt),
(F ∨ G ) ∈ F für alle F , G ∈ F (Induktionsschritt),
(F ⇒ G ) ∈ F für alle F , G ∈ F (Induktionsschritt).
◮
Für die Variablen A = {A, B, C } ist ((A ∧ B) ⇒ (¬C )) eine
aussagenlogische Formel.
◮
Dank unserer Vorrangregeln, wie beispielsweise ∧ bindet
stärker als ⇒, können wir oft auf Klammerung verzichten.
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Aussagenlogik: Semantik (1)
◮
w stehe für den Wahrheitswert “wahr” und f stehe für
“falsch”.
◮
Es sei I0 : A → {w , f } eine Belegung der aussagenlogischen
Variablen mit Wahrheitswerten.
Die Interpretationsabbildung I : F → {w , f }, die jeder
aussagenlogischen Formel ihren Wahrheitswert zuordnet, ist
induktiv definiert durch
◮
◮
◮
I(A) = I0(
(A) für jedes A ∈ A (Induktionsanfang),
w , falls I(F ) = f ,
I(¬F ) =
f,
sonst,
für jedes F ∈ F ,
11/16
Aussagenlogik: Semantik (1)
◮
w stehe für den Wahrheitswert “wahr” und f stehe für
“falsch”.
◮
Es sei I0 : A → {w , f } eine Belegung der aussagenlogischen
Variablen mit Wahrheitswerten.
Die Interpretationsabbildung I : F → {w , f }, die jeder
aussagenlogischen Formel ihren Wahrheitswert zuordnet, ist
induktiv definiert durch
◮
◮
◮
I(A) = I0(
(A) für jedes A ∈ A (Induktionsanfang),
w , falls I(F ) = f ,
I(¬F ) =
f,
sonst,
für jedes F ∈ F ,
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Aussagenlogik: Semantik (1)
◮
w stehe für den Wahrheitswert “wahr” und f stehe für
“falsch”.
◮
Es sei I0 : A → {w , f } eine Belegung der aussagenlogischen
Variablen mit Wahrheitswerten.
Die Interpretationsabbildung I : F → {w , f }, die jeder
aussagenlogischen Formel ihren Wahrheitswert zuordnet, ist
induktiv definiert durch
◮
◮
◮
I(A) = I0(
(A) für jedes A ∈ A (Induktionsanfang),
w , falls I(F ) = f ,
I(¬F ) =
f,
sonst,
für jedes F ∈ F ,
11/16
Aussagenlogik: Semantik (1)
◮
w stehe für den Wahrheitswert “wahr” und f stehe für
“falsch”.
◮
Es sei I0 : A → {w , f } eine Belegung der aussagenlogischen
Variablen mit Wahrheitswerten.
Die Interpretationsabbildung I : F → {w , f }, die jeder
aussagenlogischen Formel ihren Wahrheitswert zuordnet, ist
induktiv definiert durch
◮
◮
◮
I(A) = I0(
(A) für jedes A ∈ A (Induktionsanfang),
w , falls I(F ) = f ,
I(¬F ) =
f,
sonst,
für jedes F ∈ F ,
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Aussagenlogik: Semantik (1)
◮
w stehe für den Wahrheitswert “wahr” und f stehe für
“falsch”.
◮
Es sei I0 : A → {w , f } eine Belegung der aussagenlogischen
Variablen mit Wahrheitswerten.
Die Interpretationsabbildung I : F → {w , f }, die jeder
aussagenlogischen Formel ihren Wahrheitswert zuordnet, ist
induktiv definiert durch
◮
◮
◮
I(A) = I0(
(A) für jedes A ∈ A (Induktionsanfang),
w , falls I(F ) = f ,
I(¬F ) =
f,
sonst,
für jedes F ∈ F ,
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Aussagenlogik: Semantik (2)
◮
◮
◮
◮
◮
(
w,
f,
für alle F , G (
∈ F,
w,
I(F ∨ G ) =
f,
für alle F , G ∈
(F ,
w,
I(F ⇒ G ) =
f,
für alle F , G ∈ F .
I(F ∧ G ) =
falls I(F ) = w und I(G ) = w ,
sonst,
falls I(F ) = w oder I(G ) = w ,
sonst,
falls I(F ) = f oder I(G ) = w,
sonst,
Beispielsweise gilt
I((A ∧ B) ⇒ (¬C )) = w
⇐⇒
I(A ∧ B) = f oder I(¬C ) = w
⇐⇒
I(A) = f oder I(B) = f oder I(C ) = f .
12/16
Aussagenlogik: Semantik (2)
◮
◮
◮
◮
◮
(
w,
f,
für alle F , G (
∈ F,
w,
I(F ∨ G ) =
f,
für alle F , G ∈
(F ,
w,
I(F ⇒ G ) =
f,
für alle F , G ∈ F .
I(F ∧ G ) =
falls I(F ) = w und I(G ) = w ,
sonst,
falls I(F ) = w oder I(G ) = w ,
sonst,
falls I(F ) = f oder I(G ) = w,
sonst,
Beispielsweise gilt
I((A ∧ B) ⇒ (¬C )) = w
⇐⇒
I(A ∧ B) = f oder I(¬C ) = w
⇐⇒
I(A) = f oder I(B) = f oder I(C ) = f .
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Aussagenlogik: Semantik (2)
◮
◮
◮
◮
◮
(
w,
f,
für alle F , G (
∈ F,
w,
I(F ∨ G ) =
f,
für alle F , G ∈
(F ,
w,
I(F ⇒ G ) =
f,
für alle F , G ∈ F .
I(F ∧ G ) =
falls I(F ) = w und I(G ) = w ,
sonst,
falls I(F ) = w oder I(G ) = w ,
sonst,
falls I(F ) = f oder I(G ) = w,
sonst,
Beispielsweise gilt
I((A ∧ B) ⇒ (¬C )) = w
⇐⇒
I(A ∧ B) = f oder I(¬C ) = w
⇐⇒
I(A) = f oder I(B) = f oder I(C ) = f .
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Aussagenlogik: Semantik (2)
◮
◮
◮
◮
◮
(
w,
f,
für alle F , G (
∈ F,
w,
I(F ∨ G ) =
f,
für alle F , G ∈
(F ,
w,
I(F ⇒ G ) =
f,
für alle F , G ∈ F .
I(F ∧ G ) =
falls I(F ) = w und I(G ) = w ,
sonst,
falls I(F ) = w oder I(G ) = w ,
sonst,
falls I(F ) = f oder I(G ) = w,
sonst,
Beispielsweise gilt
I((A ∧ B) ⇒ (¬C )) = w
⇐⇒
I(A ∧ B) = f oder I(¬C ) = w
⇐⇒
I(A) = f oder I(B) = f oder I(C ) = f .
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Danke für eure Aufmerksamkeit!
Schönes Wochenende!
13/16
Zählen
Es seien A und B zwei endliche Mengen.
◮
Wie viele geordnete Paare enthält A × B?
◮
Wie viele Relationen zwischen A und B gibt es?
◮
Wie viele Abbildungen von A nach B gibt es?
14/16
Zählen: Kartesisches Produkt
Wie viele geordnete Paare enthält A × B?
Antwort: |A| · |B|.
Erklärung:
(a1 , b1 )
(a1 , b2 )
...
(a1 , b|B| )
(a2 , b1 )
(a2 , b2 )
...
(a2 , b|B| )
...
...
...
...
(a|A| , b1 )
(a|A| , b2 )
...
(a|A| , b|B| )
“Rechteck” mit |A| · |B| Einträgen.
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Zählen: Kartesisches Produkt
Wie viele geordnete Paare enthält A × B?
Antwort: |A| · |B|.
Erklärung:
(a1 , b1 )
(a1 , b2 )
...
(a1 , b|B| )
(a2 , b1 )
(a2 , b2 )
...
(a2 , b|B| )
...
...
...
...
(a|A| , b1 )
(a|A| , b2 )
...
(a|A| , b|B| )
“Rechteck” mit |A| · |B| Einträgen.
15/16
Zählen: Kartesisches Produkt
Wie viele geordnete Paare enthält A × B?
Antwort: |A| · |B|.
Erklärung:
(a1 , b1 )
(a1 , b2 )
...
(a1 , b|B| )
(a2 , b1 )
(a2 , b2 )
...
(a2 , b|B| )
...
...
...
...
(a|A| , b1 )
(a|A| , b2 )
...
(a|A| , b|B| )
“Rechteck” mit |A| · |B| Einträgen.
15/16
Zählen: Kartesisches Produkt
Wie viele geordnete Paare enthält A × B?
Antwort: |A| · |B|.
Erklärung:
(a1 , b1 )
(a1 , b2 )
...
(a1 , b|B| )
(a2 , b1 )
(a2 , b2 )
...
(a2 , b|B| )
...
...
...
...
(a|A| , b1 )
(a|A| , b2 )
...
(a|A| , b|B| )
“Rechteck” mit |A| · |B| Einträgen.
15/16
Zählen: Relationen
Wie viele Relationen zwischen A und B gibt es?
Antwort: 2|A|·|B| .
Erklärung:
◮
Jedes geordnete Paar kann in Relation sein oder nicht,
unabhängig von allen anderen Paaren.
◮
Es gibt genau |A| · |B| geordnete Paare.
16/16
Zählen: Relationen
Wie viele Relationen zwischen A und B gibt es?
Antwort: 2|A|·|B| .
Erklärung:
◮
Jedes geordnete Paar kann in Relation sein oder nicht,
unabhängig von allen anderen Paaren.
◮
Es gibt genau |A| · |B| geordnete Paare.
16/16
Zählen: Relationen
Wie viele Relationen zwischen A und B gibt es?
Antwort: 2|A|·|B| .
Erklärung:
◮
Jedes geordnete Paar kann in Relation sein oder nicht,
unabhängig von allen anderen Paaren.
◮
Es gibt genau |A| · |B| geordnete Paare.
16/16
Zählen: Abbildungen
Wie viele Abbildungen von A nach B gibt es?
Antwort: |B||A| .
Erklärung:
Für a1 gibt es |B| Möglichkeiten, für a2 gibt es |B| Möglichkeiten,
und so weiter.
Multiplizieren: |B| · |B| · · · |B| = |B||A|
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Zählen: Abbildungen
Wie viele Abbildungen von A nach B gibt es?
Antwort: |B||A| .
Erklärung:
Für a1 gibt es |B| Möglichkeiten, für a2 gibt es |B| Möglichkeiten,
und so weiter.
Multiplizieren: |B| · |B| · · · |B| = |B||A|
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Zählen: Abbildungen
Wie viele Abbildungen von A nach B gibt es?
Antwort: |B||A| .
Erklärung:
Für a1 gibt es |B| Möglichkeiten, für a2 gibt es |B| Möglichkeiten,
und so weiter.
Multiplizieren: |B| · |B| · · · |B| = |B||A|
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