BSP 7.6 Statistik u. Wahrscheinlichkeit (a) F−1(u) := inf{x : F(x

BSP 7.6
Statistik u. Wahrscheinlichkeit
(a) F −1 (u) := inf {x
:
F (x) ≥ u},
0<u<1
wenn man für u = 0.5 annimmt, so ist F −1 (u) undefiniert. gemäß unserer definition suchen wir
nun das infimum (die größte untere schranke) aus der menge aller x für die gilt F (x) ≥ u, d.h. der
erste wert größer als u, für den F −1 wieder definiert ist.
(b) Ausrechnen der ersten paar Durchläufe:
für:
p
· n · (1 − p)(n) = n · p(1 − p)(n−1)
i=0: 1−p
i=1:
i=2:
p
1−p
p
1−p
·
·
n−1
1+1
n−2
2+1
n(n−1)
· p2 (1 − p)(n−2)
2
p)(n−2) = n(n−1)(n−2)
· p3 (1 −
6
· n · p · (1 − p)(n−1) =
·
n(n−1)
2
· p2 (1 −
p)(n−3)
.
.
.
n k
p (1 − p)n−k
k
(k = Anzahl der Durchläufe, k=i+1 da beim ersten Durchlauf i=0 ist)
Annahme: α(k) =
Beweis :
Induktionsanfang:
n k
n!
für i=0 haben wir α(1) =
p (1 − p)n−k ⇒
· p1 (1 − p)(n−1) = n · p(1 − p)(n−1)
k
(n − 1)! · 1!
Induktionsvoraussetzung:
n k
Es gelte: α(k) =
p (1 − p)n−k
k
Induktionsbehauptung:
n
n!
k+1
n−k−1
zu zeigen ist α(k + 1) =
p
(1 − p)
=
· pk+1 (1 − p)(n−k−1)
k+1
(n − k − 1)! · (k + 1)!
Induktionsschritt:
α(k + 1)
n−k
p
n−k n k
p
·
·α=
·
p (1 − p)n−k
1−p k+1
1−p k+1 k
n−k
n!
=
· pk+1 (1 − p)(n−k−1)
k+1
(n − k)! · k!
n!
=
· pk+1 (1 − p)(n−k−1) q.e.d
(n − k − 1)! · (k + 1)!
=
THE ONE