Schülerzirkel Mathematik

Technische Universität München
Zentrum Mathematik
Prof. Dr. Johann Hartl
14. November 2012
Schülerzirkel Mathematik
1.) Für jede natürliche Zahl n sei A(n) := n2 + n + 41. Ist A(n) für jede natürliche Zahl
n eine Primzahl?
2. Ein Mann geht von seinem Haus H mit einer Gießkanne zum geradlinigen Ufer g
eines Flusses, füllt dort die Gießkanne und geht weiter zu einem Baum B, um diesen
Baum zu gießen. Welcher Weg von H über einen Punkt von g bis zu B ist der
kürzeste?
3.) Gib alle Paare (x, y) von ganzen Zahlen x und y an, für die gilt: x2 − y 2 = 17.
4.) Ein Dreieck ABC mit den Seiten a := BC, b := CA, c := AB haben die drei
Mittelsenkrechten ma ⊥ a, mb ⊥ b, mc ⊥ c. Die drei Mittelsenkrechten seien als
Geraden gegeben. Ist dadurch das Dreieck eindeutig bestimmt? Wie kann man es
konstruieren?
5.) Welche Zahl ist größer, 99! oder 5099 ?
6.) Der (ebene) Fußboden eines großen Zimmers sei mit kleinen Mosaiksteinen lückenlos
gepflastert. Jeder Mosaikstein sei dabei entweder weiß oder schwarz. Zeige: Es gibt
mindestens zwei Punkte auf dem Fußboden, die gleiche Farbe haben und genau einen
Meter voneinander entfernt sind.
7.) Aus jeder Klasse einer Schule werde der größte Schüler ausgewählt. Der kleinste
Schüler dieser Auswahl werde mit MinMax bezeichnet.
Aus jeder Klasse derselben Schule werde der kleinste Schüler ausgewählt. Der größte
Schüler dieser Auswahl werde mit MaxMin bezeichnet.
Wer ist größer? MinMax oder MaxMin? Lässt sich diese Frage allgemein beantworten?
8. Eine Abbildung der Ebene auf sich habe die Eigenschaften:
(1) Die Abbildung ist bijektiv. (Das heißt: Jeder Punkt der Ebene kommt als Bildpunkt vor, und sein Urbild ist eindeutig bestimmt.)
(2) Das Bild jeder Geraden ist eine Gerade.
(3) Die Verbindungsgeraden jedes Punktes P mit seinem Bildpunkt P 0 sind alle
zueinander parallel, falls P 6= P 0 .
(4) Es gibt eine Gerade a mit der Eigenschaft: Jeder Punkt P von a hat sich selbst
als Bildpunkt.
Zeige:
a) Die Bildgeraden paralleler Geraden sind parallel.
b) Jede Gerade g, die nicht gleich ihrer Bildgeraden g 0 ist, ist entweder parallel zu
g 0 oder sie schneidet g 0 in einem Punkt auf a.
Gegeben seien nun die Gerade a und ein Paar (P, P 0 ), wobei P ∈
/ a und P 0 6= P der
Bildpunkt von P sei. Wie findet man zu einem weiteren Punkt X den Bildpunkt
X 0?