Blatt 1

Freie Universität Berlin
Institut für Mathematik
PD Dr. Ivan Izmestiev
http://page.mi.fu-berlin.de/izmestiev/Teaching/Brueckenkurs/
Brückenkurs WS 13/14
Blatt 1
16. September
Aufgabe 1.
Schreibe die folgenden Aussagen mit Hilfe von Quantoren ∃, ∀ und anderer Dir bekannten mathematischen
Notationen:
a) Für ein geeignetes x ist ln x ≥ 10.
b) Für jede natürliche Zahl gibt es eine größere natürliche Zahl.
c) Jede natürliche Zahl kann als Summe von vier Quadratzahlen dargestellt werden. (Unter Quadratzahlen verstehen wir 0, 1, 4, 9, . . ..)
d) sin α ist immer kleiner als 1.
√
e) Die Gleichung tan x = 3 hat (mindestens) eine Lösung.
f) Es gibt Polynome zweiten Grades, die keine (reellen) Nullstellen haben.
g) Genau eine der Aussagen a)-g) ist falsch.
Welche dieser Aussagen sind wahr?
Aufgabe 2.
Bilde die Negationen der folgenden Aussagen.
a) Jeder Punkt auf der Mittelsenkrechten von Punkten p1 und p2 hat den gleichen Abstand zu p1
und p2 .
b) Für alle positive reelle Zahlen a, b, c, d gilt
a
b
+
c
d
=
a+c
b+d .
c) Es gibt ein Dreieck, in welchem alle Winkel spitz sind.
d) Jedes Dreieck hat mindestens einen spitzen Winkel.
e) Es gibt eine natürliche Zahl, die nicht als Summe von drei Quadratzahlen dargestellt werden kann.
Was ist jeweils wahr: die Aussage oder ihre Negation?
Aufgabe 3.
Bezeichne mit bxc die größte ganze Zahl, die nicht größer als x ist (die “Abrundung” von x). Z. B.
b1, 5c = 1, bπc = 3 usw.
Sei n > 1 eine natürliche Zahl. Beweise die folgenden Aussagen:
√
a) Wenn n zusammengesetzt ist, dann hat sie einen Teiler d mit 1 < d ≤ b nc.
b) Wenn n durch keine der Zahlen
teilbar ist, dann ist n prim.
√
2, 3, 4, . . . , b nc
Ist 119 eine Primzahl?
Aufgabe 4.
Die (starke) Goldbachsche Vermutung lautet:
Jede gerade Zahl größer als 2 kann als Summe zweier Primzahlen dargestellt werden.
Die schwache Goldbachsche Vermutung lautet:
Jede natürliche Zahl ≥ 6 kann als Summe von drei Primzahlen dargestellt werden.
Zeige, dass aus der starken Goldbachschen Vermutung die schwache folgt.
Aufgabe 5.
a) Begründe die folgende Regel für das Quadrieren einer mit 5 endenden natürlichen Zahl:
i. Streiche die 5 weg.
ii. Multipliziere den Rest mit der darauffolgenden Zahl.
iii. Schreibe am Ende 25 hinzu.
Zum Beispiel, 252 = 625 wegen 2 · 3 = 6; 852 = 7225 usw.
b) Wie funktioniert der folgende Rechentrick?
29 · 31 = 899,
Aufgabe 6∗ .
Ist die Zahl n2 + n + 17 prim für alle n ∈ N?
∗
Aufgabe
p 7 .√
Zeige, dass
3−2 2=
√
2 − 1 gilt.
39 · 41 = 1599,
18 · 22 = 396, . . .