¨Ubungen zu Elementare Zahlentheorie — Blatt 5 TU Kaiserslautern

Übungen zu Elementare Zahlentheorie — Blatt 5
Jun.-Prof. Dr. Caroline Lassueur
TU Kaiserslautern
Dr. Inga Schwabrow
Abgabetermin: Fr, 23.06.2017, 14:00 Uhr
SS 2017
Aufgabe 15. (4 Punkte)
(a) Schreiben Sie die Zahlen 2425, 4437 und 8840 jeweils als Summe von zwei Quadraten.
(b) Zeigen Sie, dass n und 2n (n ∈ Z>0 ) gleich viele Darstellungen als Summe von zwei
Quadraten besitzen.
Aufgabe 16. (4 Punkte)
Zeigen Sie: Lässt sich eine natürliche Zahl n auf zwei verschiedene Arten als Summe
zweier Quadratzahlen schreiben, das heißt, gilt n = x2 + y2 = z2 + w2 mit x, y, z, w ∈ Z und
{x2 , y2 } , {z2 , w2 }, so ist n keine Primzahl.
Hinweis: Es ist hilfreich zunächst folgende Behauptungen zu zeigen:
(a) O.B.d.A. kann man x ≡ z (mod 2) und y ≡ w (mod 2) voraussetzen.
(b) Das Gleichungssystem
y+w
y−w
x+z
z−x
= ac,
= bd,
= cb,
= ad
2
2
2
2
hat ganzzahlige Lösungen a, b, c, d ∈ Z.
(c) Es gilt n = (a2 + b2 )(c2 + d2 ).
Aufgabe 17. (4 Punkte)
(a) Zeigen Sie, dass 130 die kleinste natürliche Zahl der Form 2 · (8n + 1) für n ∈ Z>0 ist,
die nicht als Summe von genau drei positiven Quadraten ungleich Null geschrieben
werden kann.
(b)
(i) Bestimmen Sie eine ganzzahlige Lösung (x, y, z ∈ Z>0 ) des Gleichungsystems
x2 + 720 = y2 = z2 − 720.
(ii) Bestimmen Sie eine rationale Lösung (x, y, z ∈ Q) des Gleichungsystems
x2 + 5 = y2 = z2 − 5.
Hinweis: Aus a2 + b2 = c2 folgt (a ∓ b)2 ± 2ab = c2 .