¨Ubungen zur Elementaren Zahlentheorie Bergische Universität

Übungen zur Elementaren Zahlentheorie
Blatt 11
Abgabe bis 13. Juli 2017, 12 Uhr
Bergische Universität Wuppertal
PD Dr. Thorsten Weist
Dr. Martin Bender
Aufgabe 1
Welche der nachfolgenden Zahlen n sind darstellbar als Summe
n = x2 + y 2
von zwei Quadraten mit x, y ∈ Z? Entscheiden Sie erst anhand des Kriteriums aus der Vorlesung
und geben sie dann -falls möglich- eine Darstellung an:
a) n = 2r , für r ≥ 0.
b) n = 103.
c) n = 1003.
d) n = 59177.
Aufgabe 2
Bestimmen Sie eine Primfaktorzerlegung von x ∈ Z[i] für
a) x = 17 + 3i.
b) x = −21 + i.
Aufgabe 3
Seien p1 , . . . , pk ∈ P paarweise verschieden, p1 , . . . , pk ≡ 1 mod 4, und sei n = p1 · . . . · pk . Zeigen
Sie, dass folgende Aussagen äquivalent sind:
a) #{(x, y) ∈ (Z≥0 )2 | n = x2 + y 2 } = 2.
b) k = 1.
Aufgabe 4
Beweisen oder widerlegen Sie:
a) Aus x2 + y 2 + z 2 ≡ 0 mod 4 folgt, dass x ≡ y ≡ z ≡ 0 mod 2.
b) Gilt n ≡ 5 mod 8, so ist n die Summe von zwei Quadraten.