Logik und Diskrete Strukturen WS 2011/2012

Logik und Diskrete Strukturen WS 2011/2012
Übungsblatt 7
Universität Bonn, Institut für Informatik I
Abgabe: Montag 05.12.2011, bis 12.30 Uhr
Aufgabe 1:
Simultane Lösbarkeit
Zeigen Sie:
a) Sind z, n, a ∈ Z und ist a ≡ 0(mod z · n), dann ist auch a ≡ 0(mod n).
b) Sind m, n ∈ Z und ist t ∈ Z ein gemeinsamer Teiler von m und n, und haben
die beiden Gleichungen (wobei a, b ∈ Z)
x ≡ a(mod m)
und
x ≡ b(mod n)
eine gemeinsame Lösung in Z, so ist a − b ≡ 0(mod t).
Aufgabe 2:
Kleinstes gemeinsames Vielfaches
Seien m, n ∈ N und k = kgV(m, n) das kleinste gemeinsame Vielfache von m und n.
Sei die Abbildung f : N −→ Z/mZ × Z/nZ definiert durch
für alle l ∈ N
f (l) = ([l]m , [l]n )
Zeigen Sie: Für alle a, b ∈ N mit a < k und b < k gilt:
a 6= b =⇒ f (a) 6= f (b)
Aufgabe 3:
Eulersche Phi-Funktion
Berechnen Sie ϕ(77) (wobei ϕ die Eulersche phi-Funktion aus der Vorlesung ist).
Benutzen Sie dabei, dass x 6= 0 genau dann teilerfremd zu n ist, wenn [x]n eine
Einheit von Z/nZ ist.
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Aufgabe 4:
Invarianten
In einer Vorlesung sitzen 13 Pascal -Programmierer, 15 C -Programmierer und 17 JavaProgrammierer. Wann immer zwei Studenten, die bisher in verschiedenen Sprachen
programmiert haben, miteinander diskutieren, führt dies letztlich dazu, dass beide
Studenten zu der dritten Programmiersprache wechseln. Ist es möglich, dass durch
eine Folge solcher Diskussionen mit anschließenden Wechseln irgendwann alle Vorlesungsteilnehmer in derselben Sprache programmieren?
Tipp: Betrachten Sie die auftretenden Zahlen und ihre Differenzen modulo 3.
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