Datensicherheit

Fakultät für Informatik
Professur Theoretische Informatik
und Informationssicherheit
Wintersemester 2015/16
Prof. Dr. Hanno Lefmann
Datensicherheit
10. Aufgabe Probeklausur
Abgabeschluss für dieses Blatt ist Dienstag, der 5. Januar 2016, um 18:55
Uhr im Briefkasten vor Raum 1/266. Alternativ kann die Abgabe direkt
zu Beginn der Übung beim Tutor erfolgen. Bis auf weiteres sind nur
Einzelabgaben erlaubt.
Bei jeder Aufgabe können 5 Punkte erreicht werden. Begründen Sie Ihre Antworten. Die Klausur ist bestanden, wenn mindestens 15 Punkte
erreicht werden. Die Bearbeitungszeit beträgt 90 Minuten, es sind keine
Hilfsmittel (Taschenrechner, Formelsammlung etc.) zugelassen.
Bitte vermerken Sie Ihren Namen, Matrikelnummer sowie den Studiengang auf jedem Blatt inkl. Aufgabenblatt. Das Aufgabenblatt ist mit der
Lösung abzugeben.
Aufgabe 10a [5 Punkte] Wir betrachten folgenden Algorithmus. Gegeben eine natürliche Zahl n ≥ 2:
1. Initialisiere ein Array A mit n Einträgen A[1], . . . , A[n], indem jeder Eintrag
auf den Wert wahr“ gesetzt wird. Setze i := 2.
”
2. Falls A[i] = wahr: Für j = i2 , i2 + i, i2 + 2i, . . . , i2 + ⌊(n − i2 )/i⌋ · i: Setze A[j] :=
falsch.
3. Setze i := i + 1. Falls i2 ≤ n: Gehe zu 2.
4. Gib alle i ∈ {2, . . . , n} aus, für die A[i] = wahr ist.
(i) Welche Bedeutung haben die Zahlen i ∈ {2, . . . , n}, die ausgegeben werden?
(ii) Bestimmen Sie eine möglichst gute obere Schranke für die Laufzeit dieses Algorithmus. Ist die erhaltene Schranke polynomiell in der Eingabelänge Θ(log n)?
Ist das Verfahren effizient, d. h. ein Polynomialzeitverfahren?
Bitte wenden!
Aufgabe 10b [5 Punkte] Bei einem RSA-System mit den Parametern (n = p · q, e)
entschlüsselt ein Empfänger eines Chiffrats c ∈ Zn auf folgende alternative Weise:
Er berechnet mq := cd mod (q−1) mod q und mp := cd mod (p−1) mod p. Dann berechnet
er mit dem Chinesischen Restsatz ein x ∈ Zn mit
x ≡ mp mod p
x ≡ mq mod q .
Ist x die gesendete Nachricht m?
Aufgabe 10c [5 Punkte] Bei einer 2 × 2 Hill-Chiffre über Z7 gehören zu den Nachrichten m1 = (4, 1) und m2 = (5, 2) die Chiffrate c1 = (3, 3) und c2 = (4, 6).
Berechnen Sie die Verschlüsselungsmatrix k.
Aufgabe 10d [5 Punkte] Bestimmen Sie mit dem erweiterten Euklidischen Algorithmus die Inversen von
42 mod 245
und
34 mod 127,
sofern sie existieren.
Aufgabe 10e [5 Punkte]
a) Geben Sie den Satz von Euler an.
b) Beweisen Sie mit dem Satz von Euler die Korrektheit der Entschlüsselung beim
RSA-System für Nachrichten m ∈ Z∗n , wobei (n, e) der öffentliche Schlüssel ist.
c) Verwenden Sie den Satz von Euler oder den Satz von Fermat, um 493 mod 7
zu berechnen.
Geben Sie die einzelnen Zwischenschritte an.
Aufgabe 10f [5 Punkte] Einem Angreifer gelingt es, die unten stehende Schlüsselmatrix k ∈ Z63×3 einer Hill-Chiffre über Z6 bis auf den Eintrag x zu ermitteln. Welche
Werte kann x ∈ Z6 annehmen?


1 4 x
k= 2 x 5 
4 3 5