Zahlentheorie

Blatt 4
19.05.2006
Zahlentheorie
SoSe 2006
Prof. Brüdern
Aufgabe 1 Sei r ≥ 3. Zeigen Sie, dass es zu jedem ungeraden x ∈ Z genau ein
α ∈ {−1, 1} und ein l ∈ {1, 2, . . . , 2r−2 } gibt mit
x ≡ α · 5l
(mod 2r ).
Aufgabe 2 Sei q ∈ N. Zeigen Sie, dass es genau dann eine Primitivwurzel modulo q gibt, wenn q ∈ {2, 4} ∪ {pl : p > 2 prim , l ∈ N} ∪ {2pl : p > 2 prim , l ∈ N}.
Aufgabe 3 Seien a und n natürliche Zahlen mit n > 1 und an−1 ≡ 1 (mod n).
Ferner gelte am 6≡ 1 (mod n) für jeden von n − 1 verschiedenen Teiler m von
n − 1. Zeigen Sie, dass n eine Primzahl ist.
Aufgabe 4 Sei p eine ungerade Primzahl, und sei %(p) die Anzahl der Lösungen
der Kongruenz
x2 ≡ y 3 (mod p)
mit 1 ≤ x, y ≤ p. Finden und beweisen Sie eine explizite Formel für %(p).
Die Aufgabenblätter gibt es ab sofort auch unter
www.mathematik.uni-stuttgart.de/studium/infomat/ZahlTheo-Bruedern-SS06
Abgabe der Lösungen am 26. Mai in der Vorlesung.