Algorithmen für die Kryptographie Aufgabenblatt 3

M. Kufleitner
Sommersemester 2017
Algorithmen für die Kryptographie
Aufgabenblatt 3
Besprechung am 2. Juni 2017
1. Sei M eine endliche Menge, p eine Primzahl und f : M → M eine Abbildung mit
f p (m) = m für alle m ∈ M . Hierbei bezeichnet f p die p-fache Hintereinanderausführung der Abbildung f . Zeigen Sie:
a) Die Werte f (m), f 2 (m), . . . , f p (m) sind alle gleich oder alle verschieden.
b) Für die Fixpunkte F = {m ∈ M | f (m) = m} gilt |M | ≡ |F | mod p.
2. Die Fibonacci-Zahlen sind definiert durch F0 = 0, F1 = 1 und Fn+2 = Fn+1 + Fn .
Wir wollen zeigen, dass Fn+1 + Fn−1 ≡ 1 mod n gilt, falls n eine Primzahl ist.
Hierzu definieren wir L1 = 1, L2 = 3 und Ln+2 = Ln+1 + Ln . Zeigen Sie:
a) Ln = Fn+1 + Fn−1 .
b) Ln ist die Anzahl der Teilmengen M ⊆ {0, . . . , n − 1} so, dass in M keine
zwei aufeinander folgende Zahlen auftauchen (wobei wir modulo n rechnen
und somit 0 ein Nachfolger von n − 1 ist).
c) Wenn n eine Primzahl ist, dann gilt Ln ≡ 1 mod n.
3. Sei G eine endliche Gruppe und sei p ein Primteiler von |G|. Zeigen Sie, dass es
in G ein Element der Ordnung p gibt.
4. Sei p eine Primzahl. Geben Sie eine nicht-zyklische Gruppe mit p2 Elementen an.
5. Sei n = 17 und a = 9.
a) Verwenden Sie das Euler-Kriterium, um zu entscheiden für welche t ∈ {4, 5, 6, 7}
die Zahl t2 − 4a ein Quadrat ist modulo n.
17+1
b) Berechnen Sie für alle t ∈ {4, 5, 6, 7} das Polynom X 2 mod ft ∈ (Z/nZ)[X]
wobei ft = X 2 − tX + a. Welche dieser Werte sind Wurzeln von a modulo n?
6. Berechnen Sie die Wurzel von 2 im Körper Z/41Z. Verwenden Sie den Algorithmus
von Tonelli mit der Wahl g = 3 im ersten Schritt.
http://www.fmi.uni-stuttgart.de/ti/lehre/ss17/ak/