18-19 - Fakultät für Mathematik, TU Dortmund

18
Produkte und Potenzen modulo p
Satz 18.1 (Satz von Wilson). Sei p eine Primzahl. Dann gilt: (p − 1)! ≡
−1 mod p.
Satz 18.2 (Euler). Sei n ∈ N, n ≥ 2 und sei a ∈ Z mit ggT(a, n) = 1. Sei ferner
ϕ : N → N die Eulersche ϕ-Funktion (siehe 15.14). Dann gilt: aϕ(n) ≡ 1 mod n.
Korollar 18.3 (Kleiner Satz von Fermat). Sei p eine Primzahl und sei a ∈ Z
mit p6 | a. Dann gilt: ap−1 ≡ 1 mod p.
Satz 18.4. Sei G eine endliche zyklische Gruppe gerader Ordnung |G| = N .
Dann existiert genau ein surjektiver Gruppenhomomorphismus χ : G → ({±1}, · ).
Man betrachte ferner den Gruppenhomomorphismus α : G → G : x 7→ xN/2
(siehe auch Beispiel vor 5.2). Dann gilt: Kern(χ) = Kern(α) = {x2 | x ∈ G}.
Definition 18.5. Sei p eine Primzahl, p 6= 2. Wir wissen, dass (Z/pZ)∗ zyklisch
der geraden Ordnung p − 1 ist (17.12), also existiert nach 18.4 ein eindeutig
bestimmter surjektiver Gruppenhomomorphismus
χ : (Z/pZ)∗ → {±1}. Für
a ∈ Z ist nun das Legendre-Symbol ap (ausgesprochen: “a nach p”) wie folgt
definiert:
a
χ([a]p ) falls p6 | a;
:=
0 falls p|a.
p
Ebenfalls folgt dann nach 18.4 im Falle p6 | a:
a
1 falls ∃x ∈ Z mit a ≡ x2 mod p;
:=
−1 falls 6 ∃x ∈ Z mit a ≡ x2 mod p.
p
Man sagt daher auch im Falle p6 | a: a ist quadratischer
Rest (bzw. quadratischer
a
a
Nichtrest) modulo p falls p = 1 (bzw. p = −1).
Lemma 18.6. Sei p eine Primzahl, p 6= 2. Dann gilt ∀a, b ∈ Z:
a
b
ab
=
.
p
p
p
Satz 18.7 (Eulersches Kriterium). Sei p eine Primzahl, p 6= 2. Dann gilt ∀a ∈ Z:
p−1
a
≡ a 2 mod p .
p
Korollar 18.8. Sei p eine Primzahl, p 6= 2. Dann gilt:
p−1
−1
≡ (−1) 2 .
p
1
19
Das quadratische Reziprozitätsgesetz
Satz 19.1 (Gauß). Sei p eine Primzahl, p 6= 2. Sei a ∈ Z mit p6 | a. Für
k ∈ {1, 2, . . . , p−1
} seien qk , rk ∈ Z die eindeutig bestimmten Zahlen mit
2
ka = qk p + rk
und 1 ≤ rk ≤ p − 1
(Division mit Rest!). Sei
S := {k | 1 ≤ k ≤
p−1
,
2
rk > p2 } .
Dann gilt:
a
= (−1)|S| .
p
Für x ∈ R bezeichne man wie üblich mit [x] den ganzzahligen Anteil von x. d.h.
die√größte ganze Zahl ≤ x: [x] = max{n | n ∈ Z, n ≤ x}. Also z.B. [π] = 3,
[− 2] = −2, [5] = 5 . . ..
Bemerkung. 19.1 liefert schnell einen neuen Beweis von 18.8: Für 1 ≤ k ≤
p−1
durchlaufen die Reste rk von k · (−1) die Zahlen (in dieser Reihenfolge)
2
. Also rk > p2 für alle k mit 1 ≤ k ≤ p−1
und daher
p − 1, p − 2, . . . , p+1
2
2
p−1
p−1
p−1
−1
|S|
S = {1, 2, . . . , 2 }, somit |S| = 2 und p = (−1) = (−1) 2 .
Satz 19.2. Sei p eine Primzahl, p 6= 2.
(1) Sei a ∈ Z ungerade mit p6 | a. Dann gilt:
p−1
a
= (−1)`
p
mit ` =
2 X
ka
k=1
p
.
p2 −1
2
= (−1) 8 .
(2)
p
Satz 19.3 (Quadratisches Reziprozitätsgesetz nach Gauß). Seien p und q ungerade Primzahlen mit p 6= q. Dann gilt:
p−1 q−1
q
p
= (−1) 2 · 2 .
q
p
Bemerkung. Seien p und q ungerade Primzahlen mit p 6= q.
(−1)
p−1 q−1
· 2
2
=1
(−1)
p2 −1
2
⇐⇒ p ≡ 1 mod 4 oder q ≡ 1 mod 4.
1 falls p ≡ 1, 7 mod 8;
=
−1 falls p ≡ 3, 5 mod 8.
2
Beispiel.
−40
61
oder
−40
61
21
3
7
61
61
=
=
=
61
61
61
3
7
−2
−1
2
1
=
= (−1) · 1
=
3
7
7
7
= −1
3 3 −1
2 ·5
2
5
=
=
61
61
61
61
2
61
2
1
2
=
=
=
61
5
61
5
61
= −1
3