Blatt03

Prof. Dr. T. de Jong
M. Pauly
3. Übung zur Vorlesung
„Computeralgebra“
im Sommersemester 15
Aufgabe 1: (3+3 Punkte)
(a) Beweisen Sie, dass 1345051 eine Primzahl ist.
(n−1)/p
i
(b) Warum kann im Satz von Pocklington die Bedingung ggT (bi
− 1, n) = 1 nicht
(n−1)/pi
durch bi
6= 1 mod n ersetzt werden? Konstruieren Sie ein Gegenbeispiel.
Aufgabe 2: (3 Punkte)
Benutzen Sie die Pollardsche ρ-Methode um mit f (x) = 2x2 +7 und x0 = 1 eine Faktorisierung
von 1927 zu finden.
Aufgabe 3: (3+3+3 Punkte)
(a) Seien a und n ganze Zahlen größer als 1. Zeigen Sie: Wenn an − 1 ein Primzahl ist, dann
ist n eine Primzahl und a = 2.
(b) Sei p ∈ N \ {0, 1}. Beweisen Sie, dass p genau dann eine Primzahl ist, wenn (p − 1)! ≡ −1
mod p gilt.
(c) Beweisen Sie folgende Verallgemeinerung: Eine natürliche Zahl p ist genau dann eine
Primzahl, wenn für alle 1 ≤ n ≤ p
(n − 1)!(p − n)! ≡ (−1)n
mod p
gilt.
Aufgabe 4: (2+2+1+1 Punkte)
(a) Zeigen Sie: Eine ungerade natürliche Zahl n ist genau dann zusammengesetzt, wenn sie
sich in der Form n = x2 − y 2 mit x, y ∈ N0 und x − y > 1 schreiben lässt.
√
(b) Dabei gilt stets n ≤ x ≤ n+9
6 .
(c) Zeigen Sie: Der folgende Algorithmus findet einen Faktor von jeder zusammengesetzen
ungerade Zahl n.
√
Für x := d ne bis n+9
6 :
berechne z := x2 − n
Falls z = y 2 , y ∈ N
gib x − y aus
(d) Zerlegen Sie hiermit die Zahl 744647 in zwei Faktoren.
Abgabe am Donnerstag den 14.5. um 12 Uhr.