¨Ubungen – Folge 5
Werbung
Dr. Amir Džambić Einführung in die Algebraische Zahlentheorie Wintersemester 2008/09 Übungen – Folge 5 √ 3 3 Aufgabe 1. Vervollständigen Sie den Nachweis, dass OQ( √ 2) = Z[ 2], indem Sie zunächst folgende Aussagen verifizieren: √ √ 2 • d(1, 3 2, 3 2 ) = −33 22 , √ • das Minimalpolynom von 3 2 ist ein Eisenstein-Polynom bezüglich der Primzahl 2, √ √ • Z[ 3 2] = Z[ 3 2 − 2], √ • das Minimalpolynom von 3 2 − 2 ist ein Eisenstein-Polynom bezüglich der Primzahl 3. Aufgabe 2. Sei ζ = e2πi/5 und K = Q(ζ). Zeigen Sie: OK = Z[ζ]. Gehen Sie dabei folgendermaßen vor: • Berechnen Sie die Diskriminante d(1, ζ, ζ 2 , ζ 3 ), • zeigen Sie, dass Z[ζ] = Z[ζ − 1], • zeigen Sie, dass das Minimalpolynom von ζ − 1 ein Eisenstein-Polynom in Bezug auf die Primzahl 5 ist. Können Sie den Ring der ganzen Zahlen in Q(e2πi/p ) für eine beliebige Primzahl p bestimmen?
