Elementare Zahlentheorie

Elementare
Zahlentheorie
Blatt 1
16.4.2008
SS 2008
PD Dr. Dietmann
(a) Zeigen Sie, da der in der Vorlesung vorgestellte Euklidsche
Algorithmus zur Berechnung des groten gemeinsamen Teilers zweier naturlicher
Zahlen a und b maximal
2
log minfa; bg
log 2
Schritte benotigt. Dabei bezeichnet log den naturlichen Logarithmus.
(b) Sei F1 = F2 = 1 und F +2 = F + F +1 fur n > 1. Wieviele Schritte braucht der
Euklidsche Algorithmus zur Berechung von (F ; F +1 )? Welches Ergebnis liefert
er?
Aufgabe 1.1
n
n
n
n
n
(a) Sei k 2 N. Zeigen Sie:
(i) Ist 2 + 1 eine Primzahl, dann mu k eine Zweierpotenz sein.
(ii) Ist 2
1 eine Primzahl, dann mu k eine Primzahl sein.
(b) Sei p1 ; p2 ; : : : die Folge der Primzahlen, aufsteigend nach Groe sortiert, also
p1 = 2, p2 = 3 und so weiter. Zeigen Sie: Es gibt beliebig groe L
ucken zwischen
den Primzahlen, das heit zu beliebig vorgegebenem h > 1 gibt es einen Index i
mit p +1 p > h.
Aufgabe 1.2
k
k
i
i
Beweisen Sie, da fur jedes n 2 N mit
1 1
1
1 + + + ::: +
2 3
n
keine ganze Zahl ist.
Aufgabe 1.3
Aufgabe 1.4
n >
Bestimmen Sie alle naturlichen Zahlen
c
Tip: Untersuchen Sie
ab
Abgabe der L
osungen:
j
ab
1;
+ ac + bc
a
j
bc
1;
b
j
ac
1 die Summe
a; b; c
mit
a < b < c
und
1:
1 auf Teilbarkeit durch a,
b
oder c .
Mittwoch, den 23. April vor der Vorlesung.

Die Homepage der Elementaren Zahlentheorie, wo es auch die Ubungsbl
atter gibt,
ndet sich unter
http://www.mathematik.uni-stuttgart.de/studium/infomat/ZahlTheo-Dietmann-SS08