Aufgabenblatt 10 - Goldschmiede im Fabrikle

Tutorium zu Grundlagen der Mathematik
Wintersemester 14/15
Prof. Dr. Thomas Thierauf
Fak. Elektronik und Informatik
Aufgabenblatt 10
http://image.informatik.htw-aalen.de/∼thierauf/
1. Betrachten Sie folgende Programme P1 und P2 auf Eingabe einer natürlichen Zahl n.
P1 (n)
1
2
3
P2 (n)
s←0
for i ← 1 to n do s ← s + i
return s
t←0
for i ← 1 to n do t ← t + 2i + 1
return t
1
2
3
a) Zeigen Sie folgende Invariante für das Programm P1 in Zeile 2: s = 21 (i − 1)i. Welchen
Wert hat die Variable s am Ende?
b) Stellen Sie eine Invariante für das Programm P2 in Zeile 2 auf und beweisen Sie ihre
Korrektheit. Welchen Wert hat die Variable t am Ende?
2. Zeigen Sie, dass für jede Zahl n ≥ 0 und jedes a ∈ Z gilt: Tn ⊆ Tan .
3. Der Primzahlsatz besagt, dass die Primzahlen sehr dicht in N verteilt sind. Dies widerspricht
nicht der Tatsache, dass es beliebig große Abschnitte in N gibt, in denen keine Primzahl
vorkommt:
Sei N ∈ N beliebig. Wir definieren die N aufeinander folgenden Zahlen zk = (N + 1)! + k
für k = 2, . . . , N + 1. Zeigen Sie, dass keines der zk ’s Primzahl ist.
4. Wenden Sie den erweiterten euklidische Algorithmus auf folgende Zahlenpaare an
a) (60, 84)
d) (1, n), für n ≥ 1
b) (2782, 5629)
e) (n − 1, n), für n ≥ 1
c) (2k , 2l ) für 0 ≤ k < l
f) ( n−1
2 , n), für n ungerade
5. Vereinfachen Sie für m, n > 0 den Ausdruck
ggT(m, n) kgV(m, n)
.
mn
6. Seien Fn die Fibonacci-Zahlen.
a) Zeigen Sie:
Fn+1 mod Fn = Fn−1 .
b) Wieviel Iterationen macht der euklidische Algorithmus auf Eingabe (Fn−1 , Fn )?
7. Geben Sie die Primfaktorzerlegung von
21
10
an.
8. Sei p ≥ 5 prim. Zeigen Sie, dass p2 − 1 durch 24 teilbar ist.
9. Seien p1 , p2 , . . . , pt Primzahlen. Wieviele Teiler hat
a) pe11 , für e1 ≥ 1?
b) pe11 pe22 · · · pet t , für e1 , . . . et ≥ 1?
c) 1.000.000?