Konvergenz der Reihe - Mathematik, Uni

Konvergenz der Reihe
∑ 1p
p
Folgendes Wissen über Primzahlen wird benötigt:
1. Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl größer als 1, welche in den natürlichen Zahlen nur 1 und
sich selbst als Teiler besitzt.
2. Teilt eine Primzahl ein Produkt natürlicher Zahlen, so teilt sie einen der Faktoren.
3. Jede natürliche Zahl größer als 1 besitzt eine bis auf die Reihenfolge der Faktoren eindeutige
Primfaktorzerlegung. Damit besitzt auch jede natürliche Zahl einen Primteiler.
4. Es gibt unendlich viele Primzahlen.
Gäbe es nur endlich viele Primzahlen p 1 , , p n , so bilden wir die Zahl N := p1⋅⋅pn 1 .
N muß einen Primteiler p besitzen. Dieser kann aber nicht unter den Primzahlen p 1 , , p n
vorkommen, da N bei Division durch jedes der p i den Rest 1 läßt. Also gibt es mehr
Primzahlen als p 1 , , p n .
Wir können die Menge der Primzahlen der Größe nach ordnen und erhalten die Folge  p n :
also p 1=2 , p 2=3 , p3=5 , p 4=7 ,  .
∞
Satz: die Reihe ∑
n=1
1
ist divergent.
pn
∞
1
2 konvergiert, so heißt dies auch, daß die Folge der
n=1 n
Primzahlen dichter liegt als die Folge der Quadratzahlen.
Bedenkt man, daß z.B. die Reihe ∑
Beweis:
n−1
Wir benötigen die Abschätzung ∀ n∈ℕ: p n22 .
Dies beweist man leicht durch Induktion: für n=1 haben wir p 1=2=2 2 .
Wir benutzen als Induktionsvoraussetzung daß die Ungleichung p k 2 2 für alle k n gilt und
müssen zeigen, daß daraus p n122 folgt.
Bilden wir dazu die Zahl N = p1⋅⋅p n1 . N wird von einer Primzahl p geteilt, die verschieden
von p 1 , , p n ist und für die daher p n1 p gilt. Insgesamt haben wir damit
0
k−1
n
n−1
0
2
2
1
2
2
2
p n1 p N = p 1⋅⋅pn1  2 ⋅2 ⋅2 ⋅⋅2
Damit ist obige Abschätzung bewiesen1.
n −1
1 Es wurde die in der Vorlesung bewiesene Formel
n−1
∑ 2i
1 = 2
n
i=0
−1
benutzt .
∑ qi = qq−1
i=0
2n−1
1 = 2
2n
1  2
.
∞
∞
1
Nehmen wir an, die Reihe ∑
p
n=1
sei konvergent. Dann gibt es ein M ∈ℕ , so daß
∑
n=M 1
n
1 1
 .
pn 2
Ist jetzt n eine beliebige natürliche Zahl, so betrachten wir in der Menge ℕ n={1 , , n} die
Teilmenge An derjenige Zahlen, welche durch einen Primfaktor größer als p M teilbar sind. Das
Komplement B n :=ℕn ∖ An enthält dann diejenigen Elemente von ℕn , deren sämtliche Primfaktoren
kleiner oder gleich p M sind.
Ist p eine beliebige Primzahl, so bezeichnen wir die Teilmenge der Elemente von ℕn , die durch p
teilbar sind, mit C p . Offenbar ist die Elementezahl von C p kleiner oder gleich n/p . Daraus und aus
∞
∞
∞
n
∣A
∣

=n
C p folgt sofort: n
der Tatsache, daß An =
∑ p
∑ p1  n2 .
i=M 1
i=M 1
i=M 1
i
i
∪
i
M
Jedes Element m∈ Bn besitzt eine Primfaktorzerlegung m=∏ p i . Diese können wir aufspalten in
i
i=1
M
M
M

einen quadratischen Anteil und einen Rest: m=∏ p ⋅∏ p =m ⋅∏ pi mit i ∈{0 , 1} .
i=1
2 i
i
i=1
i
i
2
1
i
i=1
Offenbar gibt es 2 M Möglichkeiten, die i zu wählen, während es höchstens  n Möglichkeiten gibt,
den Faktor m1 zu wählen. Damit haben wir für die Elementezahl von B n die Abschätzung
∣B n ∣ 2 M  n . Insgesamt also:
n
n
M
n=∣An∣∣Bn∣ 2  n , woraus sofort M 1  n folgt.
2
2
Da wir n beliebig wählen können während M fest war, kann diese Ungleichung für große n nicht
∞
1
mehr stimmen. Die Annahme, daß ∑
konvergent ist, führt also zum Widerspruch!
n=1 p n