Zur Geschichte von Primzahlen

Zur Geschichte von Primzahlen
Arithmetik => Pythagoreer: Zahlen als Weltbild
Vorangegangen: Euklids Elemente (VII – IX)
Grundlegende Sätze über Teilbarkeit und Primzahlen:
[VII, § 30(gekürzt)]: Wenn eine Primzahl ein Produkt misst,
muss sie auch einen der Faktoren messen.
[VII, §32]: Jede Zahl ist entweder Primzahl oder wird von
irgendeiner Primzahl gemessen.
[IX, § 14]: Die kleinste Zahl, die von gewissen Primzahlen
gemessen wird, lässt sich durch keine andere Primzahl messen
außer den ursprünglich messenden.
[IX, §20]: Es gibt mehr Primzahlen als jede vorgelegte Anzahl
von Primzahlen.
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Zum Begriff der Primzahl
1. Aspekt:
Primzahlen sind natürliche Zahlen mit möglichst
wenigen Teilern.
Bem.: Jede ganze Zahl n hat wenigstens +1, -1 und + n
und – n als Teiler.
Definition:
Diejenigen natürlichen und von 1 verschiedenen Zahlen,
die nur 1 und sich selbst als natürliche Teiler haben,
heißen Primzahlen.
Bemerkung:
Diese Form der Definition hat unmittelbare
handlungsmäßige oder auch geometrische Ausdeutung
Gegeben eine beliebige Zahl:
1. Auslegen in Form eines Rechtecks ⇒ strukturiertes
Zählen
Beispiel: 12 => mehrere Formen
Beispiel: 13 => eine Form (Rechteck der Breite 1)
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2. Prüfen der Eigenschaft Primzahl zu sein
Beispiele: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10
Effektives Verfahren für die Bestimmung von
Primzahlen
Frage:
Wie viele Primzahlen gibt es?
Ziel: Lückenlose Liste
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21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
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Kann man aus der Geschichte lernen?
Gewinn:
Erfahren über historische und gesellschaftliche Bedingtheit mathematischer
Verfahren
• Einsehen lernen, dass mathematische Verfahren erst nach einer Vielzahl
von Versuchen, Irrwegen, Ansätzen zu der heute so standardisiert
erscheinenden Form gefunden haben
• Den eigenen Standpunkt als nicht absolut begreifen lernen
• Fehlversuchen beim Lernen offener und aufgeschlossener gegenübertreten
Kulturübergreifende mathematische Basisaktivität nach A. J. Bishop
Fragen: Gibt es in allen Kulturen Mathematik? Führt die kulturelle Entwicklung
notwendig zu derjenigen Mathematik, die sich im abendländischen Kulturkreis
herausgebildet hat?
Ist abendländische Mathematik "universal"?
Untersuchungen zeigen:
Mathematisches Denken im abendländischen Sinne gibt es in anderen Kulturen
gar nicht oder nur rudimentär.
Suche Gemeinsamkeiten
Arbeitshypothese: Es gibt in allen Kulturen mathematische Aktivitäten
Sechs Schlüsselqualifikationen, die sich in den untersuchten Kulturen auffinden
lassen:
• Zählen (counting)
• Räumliche Beziehungen herstellen (locating)
• Messen (measuring)
• Entwerfen (designing)
• Spielen (playing)
•
Begründen (explaining)
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