Zur Geschichte von Primzahlen

Zur Geschichte von Primzahlen
Arithmetik => Pythagoreer: Zahlen als Weltbild
Vorangegangen: Euklids Elemente (VII – IX)
Grundlegende Sätze über Teilbarkeit und Primzahlen:
[VII, § 30(gekürzt)]: Wenn eine Primzahl ein Produkt misst,
muss sie auch einen der Faktoren messen.
[VII, §32]: Jede Zahl ist entweder Primzahl oder wird von
irgendeiner Primzahl gemessen.
[IX, § 14]: Die kleinste Zahl, die von gewissen Primzahlen
gemessen wird, lässt sich durch keine andere Primzahl messen
außer den ursprünglich messenden.
[IX, §20]: Es gibt mehr Primzahlen als jede vorgelegte Anzahl
von Primzahlen.
1
Zum Begriff der Primzahl
1. Aspekt:
Primzahlen sind natürliche Zahlen mit möglichst
wenigen Teilern.
Bem.: Jede ganze Zahl n hat wenigstens +1, -1 und + n
und – n als Teiler.
Definition:
Diejenigen natürlichen und von 1 verschiedenen Zahlen,
die nur 1 und sich selbst als natürliche Teiler haben,
heißen Primzahlen.
Bemerkung:
Diese Form der Definition hat unmittelbare
handlungsmäßige oder auch geometrische Ausdeutung
Gegeben eine beliebige Zahl:
1. Auslegen in Form eines Rechtecks ⇒ strukturiertes
Zählen
Beispiel: 12 => mehrere Formen
Beispiel: 13 => eine Form (Rechteck der Breite 1)
2. Prüfen der Eigenschaft Primzahl zu sein
2
Beispiele: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10
Effektives Verfahren für die Bestimmung von
Primzahlen
Frage:
Wie viele Primzahlen gibt es?
Ziel: Lückenlose Liste
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21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
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Kann man aus der Geschichte lernen?
Gewinn:
Erfahren über historische und gesellschaftliche Bedingtheit mathematischer
Verfahren
• Einsehen lernen, dass mathematische Verfahren erst nach einer Vielzahl
von Versuchen, Irrwegen, Ansätzen zu der heute so standardisiert
erscheinenden Form gefunden haben
• Den eigenen Standpunkt als nicht absolut begreifen lernen
• Fehlversuchen beim Lernen offener und aufgeschlossener gegenübertreten
Kulturübergreifende mathematische Basisaktivität nach A. J. Bishop
Fragen: Gibt es in allen Kulturen Mathematik? Führt die kulturelle Entwicklung
notwendig zu derjenigen Mathematik, die sich im abendländischen Kulturkreis
herausgebildet hat?
Ist abendländische Mathematik "universal"?
Untersuchungen zeigen:
Mathematisches Denken im abendländischen Sinne gibt es in anderen Kulturen
gar nicht oder nur rudimentär.
Suche Gemeinsamkeiten
Arbeitshypothese: Es gibt in allen Kulturen mathematische Aktivitäten
Sechs Schlüsselqualifikationen, die sich in den untersuchten Kulturen auffinden
lassen:
• Zählen (counting)
• Räumliche Beziehungen herstellen (locating)
• Messen (measuring)
• Entwerfen (designing)
• Spielen (playing)
•
Begründen (explaining)
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Didaktische Prinzipien
sind Postulate bzw. Forderungen, die meist aus Lerntheorien abgeleitet bzw. durch diese
begründet werden. Sie enthalten Hinweise und Regeln, wie im unterricht geeignete
Lernbedingungen hergestellt und wie optimale Erfolge erreicht werden können.
Beispiele
Spiralprinzip: Die Idee eines Lehrplanes, bei dem Lehrgebiete in verschiedenen Altersstufen
unter wechselnden Aspekten mehrfach auftreten; findet sich schon bei Plato.
Heute bezieht man sich mit der Vorstellung einer Curriculumspirale stets auf Bruner.
Das entscheidende Unterrichtsprinzip in jedem Fach ist für Bruner die Vermittlung der
fundamentalen Ideen dieses Faches. Sie sind der zentrale Lerngegenstand auf jeder Stufe der
kognitiven Entwicklung.
Beispiel Zahlbegriff
0.Stufe: Vorschulische Erfahrungen mit Zahlen
1. Stufe: Zahlbegriff in der Primarstufe; Aspekte: Kardinal- Ordinal-Maßzahl-Rechenzahlund Codierungsaspekt
2. Sekundarstufe I: Erweiterung von N auf Z und von N auf Q.: Permanenzprinzip; Regeln,
Symbolische Fassung von Regeln
3. Sekundarstufe II: Die Menge der reellen Zahlen; irrationale Zahlen; Probleme des
Unendlichen; Approximation;
4. Studium: Überblick über die Stufen 1-3; Charakteristika
5.Fachdidaktik und Lehre: Konkretisierung vom Unterrichtsaufbau
Weitere Beispiele für didaktische Prinzipien:
Exemplarisches Prinzip; Anwendungsprinzip
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