Zur Geschichte von Primzahlen I. Bemerkungen

Zur Geschichte von Primzahlen
I. Bemerkungen
1. Arithmetik => Pythagoreer: Zahlen als „Weltbild“
2. Beispiel für Eigenschaft eines mathematischen Begriffes
3. Beispiel für unterschiedliche Klärungsmöglichkeiten:
- mit einer Definition (siehe Euklid: alte Definition; neue)
- durch eine „geometrische Anordnung“ (Rechtecke)
4. Finden solche Elemente: „Sieb“
Vorangegangen: Euklids Elemente (VII – IX)
Grundlegende Sätze über Teilbarkeit und Primzahlen:
[VII, § 30(gekürzt)]: Wenn eine Primzahl ein Produkt misst,
muss sie auch einen der Faktoren messen.
[VII, §32]: Jede Zahl ist entweder Primzahl oder wird von
irgendeiner Primzahl gemessen.
[IX, § 14]: Die kleinste Zahl, die von gewissen Primzahlen
gemessen wird, lässt sich durch keine andere Primzahl messen
außer den ursprünglich messenden.
[IX, §20]: Es gibt mehr Primzahlen als jede vorgelegte Anzahl
von Primzahlen.
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II. Zum Begriff der Primzahl
1. Aspekt:
Primzahlen sind natürliche Zahlen mit möglichst
wenigen Teilern.
Bem.: Jede ganze Zahl n hat wenigstens +1, -1 und + n
und – n als Teiler.
Definition:
Diejenigen natürlichen und von 1 verschiedenen Zahlen,
die nur 1 und sich selbst als natürliche Teiler haben,
heißen Primzahlen.
Bemerkung:
Diese Form der Definition hat unmittelbare
handlungsmäßige oder auch geometrische Ausdeutung
Gegeben eine beliebige Zahl:
1. Auslegen in Form eines Rechtecks ⇒ strukturiertes
Zählen
Beispiel: 12 => mehrere Formen
2
Beispiel: 13 => eine Form (Rechteck der Breite 1)
2. Prüfen der Eigenschaft Primzahl zu sein
Beispiele: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10
III. Effektives Verfahren für die Bestimmung von
Primzahlen
Frage:
Wie viele Primzahlen gibt es?
Ziel: Lückenlose Liste
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2
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4
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6
7
8
9
10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
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Frage: wann kann man aufhören zu zählen?
IV. Ergänzungen
1. Beispiel für den Aufbau von Mathematik:
a) Klärung (Definition) eines Begriffes
Zahl, natürliche Zahl, Primzahl, Primzahlzwillinge…..
b) Finden von Beispielen/Gegenbeispielen
c) Finden von Eigenschaften des Begriffs
- Zahl – Primzahl
- Zahl- gerade und ungerade Zahl => Grundschule
Finden auf Grundschulebene: jede zweite Zahl
Begründen auf Schulebene: algebraische Darstellung
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Folgerungen
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Didaktische Prinzipien
sind Postulate bzw. Forderungen, die meist aus
Lerntheorien abgeleitet bzw. durch diese begründet
werden. Sie enthalten Hinweise und Regeln, wie im
unterricht geeignete Lernbedingungen hergestellt und
wie optimale Erfolge erreicht werden können.
Beispiele
Spiralprinzip: Die Idee eines Lehrplanes, bei dem
Lehrgebiete in verschiedenen Altersstufen unter
wechselnden Aspekten mehrfach auftreten; findet sich
schon bei Plato.
Heute bezieht man sich mit der Vorstellung einer
Curriculumspirale stets auf Bruner.
Das entscheidende Unterrichtsprinzip in jedem Fach ist
für Bruner die Vermittlung der fundamentalen Ideen
dieses Faches. Sie sind der zentrale Lerngegenstand auf
jeder Stufe der kognitiven Entwicklung.
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Beispiel Zahlbegriff
0.Stufe: Vorschulische Erfahrungen mit Zahlen
1. Stufe: Zahlbegriff in der Primarstufe; Aspekte:
Kardinal- Ordinal-Maßzahl-Rechenzahl- und
Codierungsaspekt; aber auch: gerade und ungerade
Zahlen, Primzahlen
2. Sekundarstufe I: Erweiterung von N auf Z und von N
auf Q.: Permanenzprinzip; Regeln, Symbolische
Fassung von Regeln
3. Sekundarstufe II: Die Menge der reellen Zahlen;
irrationale Zahlen; Probleme des Unendlichen;
Approximation;
4. Studium: Überblick über die Stufen 1-3;
Charakteristika
5.Fachdidaktik und Lehre: Konkretisierung vom
Unterrichtsaufbau
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Weitere Beispiele für didaktische Prinzipien
• Exemplarisches Prinzip
Heraklit: Viel Wissen bedeutet noch nicht Verstand.
Wagenschein: Gegen Stofffülle der Lehrpläne
• Anwendungsprinzip
1. Angewandte Mathematik als Lehrstoff:
Rechnen mit Größen (Länge, Gewicht, Zeitspanne,
Geldwerte, Hohlmaße); Elementare Stochastik,
Darstellende Geometrie; angewandte Analysis
2. Sachbezogenheit als Lernprinzip
Umweltphänomene als Einstiege in Lernprozesse
Angewandte Aufgaben zum Üben
3. Wirklichkeitserschließung als Lernziel
Befähigung zum besseren Verständnis der aktuellen
Lebenswelt der Schüler: anspruchsvoll:
Vorgehen: Ausgehen außermathematische
Problemsituation, analysieren unter mathematischem
Blickwinkel, Entwerfen eines Beschreibungsmodells, dabei
neue Begriffe entwickeln, im Modell arbeiten (d.h.
rechnen), deuten von Ergebnissen und mit realen Befunden
konfrontieren
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