9 Primzahltests

9 PRIMZAHLTESTS
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Primzahltests
In diesem Kapitel sei N immer eine ungerade Zahl mit N ≥ 3.
9.1
Der Solovay-Strassen Primzahltest
Satz 9.1
a) Die Zahl N ist eine Primzahl, wenn für jede zu N teilerfremde Zahl
a
a die Identiät a(N −1)/2 ≡
(mod N ) gilt.
N
b) Ist N zusammengesetzt undA die
Menge aller zu N teilerfremden Zahlen a mit
a
(N −1)/2
0 < a < N und a
≡
(mod N ), so gilt |A| ≤ 21 ϕ(N ).
N
Primzahltest von Solovay-Strassen:
Man wählt zufällig eine Zahl a mit 1 < a < N . Ist a ein Teiler von N (für große N ist
dies extrem unwahrscheinlich),
so ist N zerlegbar. Falls nicht, testet man die Bedina
(N −1)/2
(mod N ). Ist sie nicht erfüllt, so ist N zerlegbar. (Aber man
gung a
≡
N
hat keine Ahnung wie ein Teiler von N ausschaut!) Diese Prozedur wiederholt man
immer wieder. Ist N zerlegbar, so ist die Wahrscheinlichkeit, dass N k verschiedene
Tests besteht, höchstens 1/2k , also für wachsendes k extrem gering.
9.2
Miller-Rabin Primzahltest
Satz 9.2 Ist (N − 1)/2 ungerade, und gilt für jede zu N teilerfremde Zahl a die
Identität a(N −1)/2 ≡ ±1 (mod N ), so ist N eine Primzahl.
Lemma 9.3
a) Für eine zyklische Gruppe C der Ordnung ` und für m ∈ N gilt
m
{g
∈
C|g
=
1}
= ggT(m, `).
b) Für eine Primzahl p > 2, n ∈ N und ein zu p teilerfremdes m ∈ N gilt
n ∗ m
{g
∈
(Z/(p
))
|g
=
1}
= ggT(m, p − 1).
Satz 9.4 Sei N − 1 = 2t m mit ungeradem m und N ≥ 11. Gilt für jede zu N
teilerfremde Zahl a die Aussage
am ≡ 1
(mod N ) oder
sm
∃s ∈ {0, . . . , t − 1} : a2
≡ −1
(mod N ),
(1)
so ist N eine Primzahl und umgekehrt. Ist N keine Primzahl und A die Menge der
zu N teilerfremden a in {1, 2, . . . , N − 1}, die (1) erfüllen, so gilt |A| ≤ 41 ϕ(N ).