7.¨Ubungsblatt zur Elementaren Zahlentheorie Anne Henke, WS

7.Übungsblatt zur Elementaren Zahlentheorie
Anne Henke, WS 2016
1. Sei p eine ungerade Primzahl und g ein primitives Element modulo p.
(a) Sei p ≡ 1 mod 4. Dann ist auch −g primitiv modulo p.
(b) Sei p ≡ 3 mod 4. Dann ist ordp (−g) =
p−1
2 .
2. Gegeben sei f (X) = 6X 4 + 4X 3 + 3X 2 + 8X + 4 ∈ Z[X]. Bestimmen
Sie alle Lösungen von f (X) ≡ 0 modulo m mit m = 25, 49, 1225.
3. (a) Berechnen Sie die quadratischen Reste modulo 29 und 37.
( )
(b) Berechnen Sie ap für alle möglichen Fälle mit a = −1, 2, −2, 3
und p = 11, 13, 17.
4. Welche der folgenden Kongruenzen sind lösbar, und wieviele Lösungen
besitzen sie?
(a) x2 ≡ 2 mod 59;
(b) x2 ≡ −2 mod 59;
(c) x2 ≡ 2 mod 118;
(d) x2 ≡ −2 mod 118;
(e) x2 + 10x + 1 ≡ 4 mod 29;
(f) x4 + 6x2 + 21 ≡ 0 mod 37.
5. Sei p eine ungerade Primzahl.
(a) Zeigen Sie, dass die quadratischen Reste modulo p genau zu den
Zahlen 12 , 22 , . . . , ((p − 1)/2)2 kongruent sind.
(b) Beweisen Sie, dass für p > 3 die Summe aller quadratischen Reste
modulo p durch p teilbar ist.
6. (Zusatzaufgabe) Sei f (X) = a0 + a1 X + . . . + an X n ein Polynom mit
ganzzahligen Koeffizienten. Zeigen Sie, dass gilt:
f (X + Y ) =
∑ 1
f (k) (X) · Y k .
k!
k≥0
Hierbei ist f (k) die k-te Ableitung von f .