Ubungsblatt 8 - IWR Heidelberg

Übungen zur Elementaren Zahlentheorie
Übungsblatt 8
Dozent: Dr. D. Vogel
Übungen: Dipl. Math. Ralf Butenuth
01.06.2011
Übung 1 (4 Punkte)
(a) Sei p ≥ 3 prim und a, b, c ∈ Z( mit p) - a. Zeigen Sie, dass die Kongruenz
2
ax2 + bx + c ≡ 0 (mod p) genau b −4ac
+ 1 viele Lösungen modulo p hat.
p
(b) In welchen Fällen ist für p = 2 die Gleichung ax2 + bx + c ≡ 0 (mod p) mit 2 - a
lösbar? Hinweis: Es gilt x2 ≡ x (mod 2).
(c) Zeigen Sie, dass die Kongruenz 6x2 + 5x + 1 ≡ 0 (mod p) für jedes p lösbar ist.
Hat die Gleichung 6x2 + 5x + 1 = 0 ganzzahlige Lösungen?
Übung 2 (4 Punkte) Sei p ≥ 5 eine Primzahl. Zeigen Sie:
(a)
( ) {
+1, falls p ≡ ±1 (mod 12),
3
=
p
−1, falls p ≡ ±5 (mod 12).
(b) Sei Fk := 22 + 1 die k-te Fermat-Zahl mit k ≥ 1. Dann gilt
( )
3
= −1.
Fk
k
Was bedeuten in beiden Teilen die Aussagen?
Übung 3 (4 Punkte) Zeigen Sie:
(a) Sei p eine ungerade Primzahl. Dann gibt es unter den Zahlen {0, . . . , p − 1}
genauso viele quadratische Reste modulo p wie quadratische Nichtreste modulo
p.
(b) Sei p ≡ 1 (mod 4) eine Primzahl und a ∈ Z. Dann gilt
( ) (
)
a
p−a
=
.
p
p
(c) Sei p wie in (b). Dann gilt
p−1 ( )
∑
a
a
= 0.
p
a=0
– bitte wenden –
Übungen zur Elementaren Zahlentheorie
Übungsblatt 8
Dozent: Dr. D. Vogel
Übungen: Dipl. Math. Ralf Butenuth
01.06.2011
Übung 4 (4 Punkte) In dieser Aufgabe soll die Berechnung des Jacobi-Symbols in
sage implementiert werden. Gehen Sie dazu wie folgt vor:
(a) Implementieren Sie eine sage-Funktion Vorbereiten, die bei Eingabe von m ∈
Z ein Tripel (z, n, m0 ) ausgibt mit z ∈ {±1}, n ≥ 0 und m0 > 0 ungerade mit
m = z · 2n · m 0 .
(b) Implementieren Sie eine sage-Funktion ReziprozitaetsFaktor, die bei Eingaa−1 b−1
be von a, b ∈ Z ungerade die Zahl (−1) 2 2 ausgibt. Machen Sie dazu eine
Fallunterscheidung über die Reste von a und b modulo 4.
(c) Implementieren Sie eine sage-Funktion JacobiErgaenzung,( die
) (bei
)n Eingabe
von z ∈ {±1}, n ≥ 0 und b ≥ 3 eine ungerade Zahl den Wert zb · 2b ausgibt.
Benutzen Sie dazu Satz 8.14 aus der Vorlesung und eine Fallunterscheidung über
die Reste von b modulo 8.
(d) Implementieren Sie eine sage-Funktion Jacobi(Symbol,
die bei Eingabe von
)
a, b ∈ Z mit b ≥ 3 ungerade das Jacobi-Symbol ab ausgibt. Benutzen Sie dazu
die Teile (a) bis (c) und die Division mit Rest.
(e) Testen Sie ihre Implementation mit den Jacobi-Symbolen
(
) (
) (
)
(
)
1001
1901
−4556786
345678
,
,
und
.
9907
9907
98767897
7579
Vergleichen Sie dazu die Ausgabe mit der sage-Funktion kronecker symbol.
Hinweis: In Teil (c) und (d) der Aufgabe darf die Funktion kronecker symbol natürlich
nicht benutzt werden.
Diese Blatt kann bis Mittwoch, den 08.06, 9:15 im Zettelkasten neben HS6 abgegeben werden. Eine Abgabe in 2er-Teams ist gestattet und erwünscht. Bitte denken
Sie daran, Ihre Namen und Ihre Matrikelnummer mit anzugeben und alle Blätter,
zum Beispiel mit einem Schnellhefter, zusammen zu halten. Die Aufgaben werden in
den Übungen ab Freitag, den 10.06.2011 besprochen.
Weitere Hinweise zur Vorlesung finden Sie unter:
www.iwr.uni-heidelberg.de/∼Ralf.Butenuth/Zahlentheorie.