Zettel 6 - IWR Heidelberg
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Übungen zur Elementaren Zahlentheorie
Übungsblatt 6
Dozent: Dr. D. Vogel
Übungen: Dipl. Math. Ralf Butenuth
18.05.2011
Übung 1 (4 Punkte + 2 Bonuspunkte für Teil (c))
(a) Sei p eine Primzahl und a, b ∈ N mit ap ≡ bp (mod p). Zeigen Sie, dass dann
auch ap ≡ bp (mod p2 ) gilt.
(b) Geben Sie alle Lösungen x ∈ Z der Kongruenz x15 ≡ 64 (mod 67) an. Benutzen
Sie dabei, dass 2 eine primitive Wurzel modulo 67 ist.
(? c) (Bonusaufgabe, 2 Zusatzpunkte) Sei P2 wie in Aufgabe 2, Zettel 5 definiert als
die Menge aller Primzahlen p mit 3 ≤ p ≤ 97 für die 2 eine primitive Wurzel
modulo p ist. Berechnen Sie mit sage für jede Primzahl p ∈ P2 eine primitive
Wurzel modulo p2 .
Übung 2 (4 Punkte + 2 Bonuspunkte für Teil (b))
(a) Zeigen Sie: Jede gerade vollkommene Zahl ist von der Form
(p + 1)p
= 2n−1 (2n − 1)
2
mit p = 2n − 1 eine Primzahl.
(? b) (Bonusaufgabe, 2 Zusatzpunkte) Benutzen Sie die Aussage aus Teil (a), um mit
sage die ersten 15 geraden vollkommenen Zahlen zu suchen. Vergleichen Sie die
Rechenzeit dieser Implementation mit ihrer Implementation von Aufgabe 2.2
(oder der Musterlösung).
Hinweise: Es wird vermutet, dass es keine ungeraden vollkommenen Zahlen gibt.
Zu (a): Wenn a eine gerade vollkommene Zahl ist, können Sie a schreiben als 2n−1 u
mit n > 1 und u ungerade. Benutzen Sie dann die Darstellung von S(n) aus Aufgabe
4, Blatt 5 und die schwache Multiplikativität von S.
Zu (b): Mit dem sage-Kommando %time können Sie die benötigte Rechenzeit messen.
Sie dürfen in dieser Aufgabe das sage-Kommando is prime benutzen. Die 15te gerade
vollkommene Zahl ist kleiner als 10800 .
– bitte wenden –
Übungen zur Elementaren Zahlentheorie
Übungsblatt 6
Dozent: Dr. D. Vogel
Übungen: Dipl. Math. Ralf Butenuth
18.05.2011
Übung 3 (4 Punkte) Sie wollen einem befreundeten Bundeswehr-General helfen, alle
diensttauglichen Soldaten seiner 2000 Mann starken Kompanie zu zählen. Dazu lassen
Sie die Soldaten auf dem Hof antreten, und brüllen dann die folgenden Kommandos:
1. Aufstellen in Reihen à 8 Mann!
2. Aufstellen in Reihen à 9 Mann!
3. Aufstellen in Reihen à 11 Mann!
Nach dem ersten Kommando blieb eine unvollständige Reihe aus 7 Soldaten, nach
dem zweiten Kommando eine aus 5 Soldaten und nach dem dritten Kommando eine
Reihe aus 9 Soldaten.
Wie viele diensttaugliche Soldaten sind wohl im Hof angetreten?
Übung 4 (4 Punkte)
(a) Schreiben Sie eine sage-Funktion, die bei Eingabe einer Liste von teilerfremden
ganzen Zahlen m1 , . . . , mr eine Liste von idempotenten Elementen e1 , . . . , er
berechnet, also Elemente ei mit
{
0 (mod mj ) für j 6= i
ei ≡
1 (mod mi )
(b) Schreiben Sie eine sage-Funktion, die bei Eingabe einer Liste von teilerfremden ganzen Zahlen m1 , . . . , mr und einer zweiten Liste beliebiger ganzer Zahlen
a1 , . . . , ar ein Element b ∈ Z berechnet mit b ≡ ai (mod mi ) für i = 1, . . . , r.
(c) Lösen Sie das folgende Kongruenzsystem:
531142415 · x ≡ 3431234123 (mod 5515439063)
235131212 · x ≡ 2123124114 (mod 4936328519)
123121513 · x ≡ 1234253221 (mod 2789693041)
Hinweis: Die sage-Befehle power mod, gcd und euler phi sind hilfreich. In dieser Aufgabe dürfen die sage-Befehle CRT, CRT basis, CRT list und CRT vectors nicht benutzt werden.
Diese Blatt kann bis Mittwoch, den 25.05, 9:15 im Zettelkasten neben HS6 abgegeben werden. Eine Abgabe in 2er-Teams ist gestattet und erwünscht. Bitte denken
Sie daran, Ihre Namen und Ihre Matrikelnummer mit anzugeben und alle Blätter,
zum Beispiel mit einem Schnellhefter, zusammen zu halten. Die Aufgaben werden in
den Übungen ab Freitag, den 27.05.2011 besprochen.
Weitere Hinweise zur Vorlesung finden Sie unter:
www.iwr.uni-heidelberg.de/∼Ralf.Butenuth/Zahlentheorie.
