4. ¨Ubung zur Mathematik I für Wirtschaftsinformatiker/innen

Dr. O. Rheinbach
Mathematisches Institut
Universität zu Köln
4. Übung zur Mathematik I für Wirtschaftsinformatiker/innen
Aufgabe 1 (2+4 Punkte)
Es sei für m, n ∈ IN definieren wir mit mod(m, n) den Rest bei ganzzahliger Division m/n.
Also etwa mod(6, 3) = 0, mod(7, 3) = 1.
Sei ⊕5 und ¯5 die Addition und Multiplikation modulo 5, also
m ⊕5 n := mod(m + n, 5)
und
m ¯5 n := mod(m · n, 5).
Dann ist ({0, 1, 2, 3, 4}, ⊕5 , ¯5 ) ein Körper. Lösen Sie die vier Gleichungen
• 4 ⊕5 x = 3,
• x ⊕5 3 = 4,
• 4 ¯5 x = 3,
• x ¯5 3 = 2
im Körper ({0, 1, 2, 3, 4}, ⊕5 , ¯5 ).
Aufgabe 2 (6 Punkte)
Zeigen Sie mit vollständiger Induktion: 7n − 1 ist für alle n ∈ IN durch 6 teilbar.
Aufgabe 3 (6 Punkte)
Vereinfach Sie die folgenden komplexen Zahlen, d.h. bringen Sie z ∈ C
I in die Form a + ib,
z=
1
,
1+i
z = i(2 + i)2 ,
1
z= .
i
Aufgabe 4√(6 Punkte)
Es sei z = 2(1 + i). Berechnen Sie z 2 , z 3 , z 4 und zeichen Sie die Zahlen z, z 2 , z 3 , z 4 in die
Gaußsche Zahlenebene ein.
Aufgabe 5 (8 Punkte)
Zeigen Sie das Distributivgesetz für die komplexen Zahlen, d.h. zeigen Sie für die Operationen
∗ und ⊕ in C,
I dass gilt
¡
¢
(a, b) ∗ (c, d) ⊕ (e, f ) = (a, b) ∗ (c, d) ⊕ (a, b) ∗ (e, f ).
Übungsabgabe zu zweit ist erwünscht! Bitte geben Sie dann aber nur EINE Übung ab!
Bitte schreiben Sie die Nummer Ihrer Übungsgruppe auf den Zettel!