Lineare Algebra - Universität Koblenz · Landau

Lineare Algebra
FB 3 — Mathematisches Institut
Prof. Dr. Thomas Götz
Dr. Mark Steinhauer
Übung 1
20. April 2017
Auf jedem zukünftigen Aufgabenblatt wird es zwei mit (HA) gekennzeichnete Aufgaben geben,
die in 3 er-Gruppen bearbeitet, jede Woche bis zwei Tage vor(!) der jeweiligen Übung abgegeben werden können/sollten. Dazu stehen im Erdgeschoss des G-Gebäudes Briefkästen mit der
Aufschrift Lin. Alg. + Dozentenname “ zur Verfügung.
”
Aufgabe 5: Es sei X 6= ∅ eine Menge. Betrachten Sie S(X) := {f : X → X | f ist bijektiv.} die
Menge der bijektiven Selbstabbildungen von X. Zeigen Sie, dass gilt:
(a) S(X) ist mit der Komposition von Abbildungen eine Gruppe.
(b) S(X) ist nicht kommutativ, sofern X mindestens 3 verschiedene Elemente besitzt.
Aufgabe 6:
(a) Für a, b ∈ Z definieren wir a ≡ b mod 5 durch 5 teilt (a − b)“, d. h. genauer durch: Es
”
gibt ein k ∈ Z, so dass gilt: a − b = 5k.
Zeigen Sie, dass a ≡ b mod 5 eine Äquivalenzrelation auf Z ist und bestimmen Sie alle
Äquivalenzklassen dieser Äquivalenzrelation.
(b) (HA) Zeigen Sie, dass Z/5Z mit der Restklassenaddition und der Restklassenmultiplkation
ein Körper mit 5 Elementen ist.
(c) (HA) Weisen Sie nach, dass dagegen Z/4Z mit der Restklassenaddition bzw. der Restklassenmultiplikation bzgl. a ≡ b mod 4 ⇔ 4|a − b (d. h. 4 teilt (a − b)) kein Körper ist.
Aufgabe 7:
(a) Schreiben Sie die folgenden Zahlen in der Form a + ib mit a, b ∈ R:
1234
X
1+i
4
101
z1 =
, z2 = (9 + 6i) , z3 = i , z4 =
in .
1−i
n=1
3
i
(b) Multiplizieren Sie 3 + i mit −2 + . Wie sieht dies in der komplexen Zahlenebene aus?
4
2
7 2
(c) (HA) Was ist in C das (multiplkative) Inverse zu − i
2 4
(d) (HA) Lösen Sie das folgende lineare Gleichungssystem über dem Körper C:
1
x + (2 + i)y = 0
i
2x − (1 − i)y = 2.
Aufgabe 8:
(a) Zeigen Sie, dass Abb(C, C) = {f : C → C} mit (f + g)(z) := f (z) + g(z) für alle z ∈ C und
(αf )(z) := αf (z) für alle z ∈ C und α ∈ C ein komplexer Vektorraum ist.
(b) Zeigen Sie, dass F = Abb(N, R) := {a : N → R} mit (a + b)(n) := a(n) + b(n) für alle n ∈ N
und (λa)(n) := λa(n) für alle n ∈ N und λ ∈ R ein reeller Vektorraum ist.
Besprechung in der 17. Woche
Hausaufgaben: Aufgabe 6 (b), (c); Aufgabe 7 (c), (d).
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