Universität Duisburg–Essen Campus Duisburg Fachbereich

Universität Duisburg–Essen
Campus Duisburg
Fachbereich Mathematik
Probeklausur zur Diskreten Mathematik II SS 08
Aufgabe 1
Es sei
a)
b)
c)
d)
e)


3
5
5
A :=  −5 −7 −5  ∈ Mat(3, 3; R).
5
5
3
Bestimmen Sie das charakteristische Polynom der Matrix A.
Berechnen Sie det A und det A−1 , falls A invertierbar ist.
Bestimmen Sie alle Eigenwerte der Matrix A.
Bestimmen Sie für jeden Eigenwert von A eine Basis des zugehörigen Eigenraums.
Überprüfen Sie, ob die Matrix A diagonalisierbar ist.
Aufgabe 2
a) Bestimmen Sie den größten gemeinsamen Teiler ggT(a, b) für die beiden Zahlen
a := 5264
b)
und b := 5687.
Bestimmen Sie alle x, y ∈ Z, für die gilt
5687x + 5264y = −1081.
c)
Bestimmen Sie die kleinste positive ganze Zahl x ∈ Z, so dass gilt:
2x ≡ 29 (mod 37) und
3x ≡ 35 (mod 47).
Aufgabe 3
Gegeben sei das irreduzible Polynom f (T ) := 1 + T 3 + T 4 ∈ Z2 [T ]. Ferner sei m ⊂ Z2 [T ]
das von f in Z2 [T ] erzeugte Ideal und
F16 := Z2 [T ]/
m
der Körper mit 16 Elementen.
a) Zeigen Sie, dass T 2 + m ∈ F16 ein erzeugendes Element der multiplikativen Gruppe
(F∗16 , ·) ist.
b) Bestimmen Sie für jeden Teiler d ∈ N von ord(F∗16 , ·) die Menge
Ad := {a ∈ F∗16 : ord(F∗16 ,·) a = d}.
c)
Bestimmen ein Polynom g ∈ Z2 [T ] mit grad g ≤ 3, so dass gilt
g ≡ (T 3 + T 2 + 1)8 (mod f ).
Aufgabe 4
∗
a) Berechnen Sie die Ordnung der primen Restklassengruppe Z936
.
b) Es sei F289 der Körper mit 289 Elementen.
(i) Bestimmen Sie die Anzahl der Nullstellen des Polynoms T 6 − 1 ∈ F289 [T ].
(ii) Bestimmen Sie die Anzahl der Nullstellen des Polynoms T 7 − 1 ∈ F289 [T ].
c) Gegeben seien die Primzahlen p = 13 und q = 31.
(i) Verschlüsseln Sie die Nachricht M = 50 mit Hilfe des öffentlichen Schlüssels (e, n),
wobei e = 7 ist.
(ii) Berechnen Sie den entsprechenden privaten Schlüssel mit dem die Nachricht durch
den Empfänger wieder dechiffriert werden kann.
Aufgabe 5
Gegeben sei die Kontrollmatrix

1

H := 1
1
0
1
0
0
1
1
1
0
0
1
0
1
1
1
0

0
0  ∈ Mat (3, 7; F2 )
1
und der zugehörige lineare Code
C := {x ∈ F72 : x · H t = 0}.
a)
b)
c)
d)
Bestimmen Sie eine Basis von C.
Bestimmen Sie den Minimalabstand d(C) (mit ausführlicher Begründung).
Konstruieren Sie eine Syndromtabelle für C.
Decodieren Sie w := (1101100) ∈ F72 nach dem Prinzip des nächsten Nachbarn
(Minimum–Distance Decoding).