Übungsblatt 9

Jun.Prof. Dr. C. Diem
[email protected]
http://www.math.uni-leipzig.de/∼diem/la
LINEARE ALGEBRA FÜR INFORMATIKER
ÜBUNGSBLATT NR. 9
Aufgaben für die Übungsgruppen
Aufgabe Ü1
a) Sei K ein Körper. Zeigen Sie: Ein Polynom von Grad 2 oder 3 in K[X] ist genau
dann irreduzibel, wenn es keine Nullstellen besitzt.
b) Geben Sie alle irreduziblen Polynome von Grad 1,2 und 3 in F2 [X] an!
c) Zeigen Sie: Das Polynom X 4 + X + 1 ∈ F2 [X] ist irreduzibel.
Aufgabe Ü2 Zeigen Sie: Die Abbildung · : C −→ C , a + ib (wobei a, b ∈ R) 7→
a + ib := a − ib ist ein Körperautomorphismus.
Bemerkung. Dieser Automorphismus von C heißt komplexe Konjugation.
Aufgabe Ü3 Der Absolutbetrag der komplexen Zahlen ist wie folgt definiert:
√
| · | : C −→ R, z 7→ zz .
a) Was ist also für a, b ∈ R |a + ib| konkret? Welche geometrische Bedeutung hat der
Absolutbetrag?
b) Zeigen Sie: Für alle z, w ∈ C gilt:
a) |z| = 0 ←→ z = 0.
b) |zw| = |z| · |w|
c) |z + w| ≤ |z| + |w|.
c) Zeigen Sie: | · | : C∗ −→ R∗ ist ein Gruppenhomomorphismus.
d) Visualisieren Sie Kern(| · |) in der “komplexen Ebene”!
Schriftliche Hausaufgaben
Abgabe.
Bis Freitag, 19.12., 10 Uhr.
Aufgabe H1 Betrachten Sie die abelsche Gruppe R2 mit der (üblichen) “komponentenweisen” Addition. Wir definieren eine Multiplikation auf R2 wie folgt:
(a, b) · (c, d) := (ac − bd, bc + ad) .
Zeigen Sie:
a) (R2 , +, ·) ist ein Körper.
b) Dieser Körper ist zum Körper R[X]/(X 2 + 1) isomorph.
Hinweis. Sie dürfen beliebige Aussagen aus der Vorlesung benutzen. (Und damit können
Sie sich viel Arbeit sparen!)
Aufgabe H2 Zeigen Sie unter Verwendung des Fundamentalsatzes der Algebra: Jedes
nicht-konstante reelle Polynom p(X) (d.h. jedes Polynom p(X) ∈ R[X]) zerfällt in ein
Produkt von linearen reellen Polynomen und quadratischen reellen Polynomen ohne
Nullstellen in R.
(Mit anderen Worten: Jedes nicht-konstante Polynom in R[X] ist ein Produkt von Polynomen pi (X) ∈ R[X], wobei pi (X) entweder Grad 1 oder Grad 2 hat und im zweiten
Fall keine reellen Nullstellen hat.)
Zeigen Sie hierfür, dass für alle Polynome p(X) ∈ R[X], p(X) 6= 0 gilt:
• Wenn α ∈ C eine Nullstelle von p(X) ist, dann ist auch α ∈ C eine Nullstelle von
C.
• Seien a(X) ∈ R[X] und b(X) ∈ C[X] mit a(X)b(X) = p(X). Dann gilt b(X) ∈
R[X].
Beenden Sie den Beweis mit einem Induktionsargument!
Aufgabe H3 Sei K ein Körper. Beweisen Sie: Man kann den größten gemeinsamen
Teiler von zwei Polynomen in K[X] von Grad ≤ d (von denen eines nicht Null ist) in
O(d2 ) Körperoperationen berechnen.
Dieses Resultat kann man mit dem “normalen Euklidischen Algorithmus” erhalten, aber
für die Analyse ist es vielleicht vorteilhaft, die folgende Variante zu betrachten.
P
P
Var-Euklid(a(X), b(X))
(mit a(x) = i ai X i , b(x) = i bi X i )
· a(X).
Wenn b(X) = 0, dann Rückgabe a 1
Grad(a(X))
Wenn Grad(a(X)) < Grad(b(X)), dann Rückgabe Var-Euklid(b(X), a(X))
Sei d ←− Grad(a(X)) und e ←− Grad(b(X)).
Rückgabe Var-Euklid(a(X) − X d−e · abed · b(X), b(X)).
Wenn Sie diesen Algorithmus benutzen, argumentieren Sie, warum der Algorithmus
terminiert und den ggT berechnet! Sie können sich dabei auch auf den “normalen”
Euklidischen Algorithmus und seine Analyse beziehen.
Hinweis. In Ihrem Beweis können Sie eine rekursiv definierte Kostenfunktion einführen
(analog zu E(a, b)) oder Sie können die Folge der Werte von a(X), b(X) bei den rekursiven Aufrufen betrachten. (Vielleicht gibt es noch andere Möglichkeiten.)