Ubungsserie 14

Technische Universität Ilmenau
Institut für Mathematik
Prof. Dr. M. Kriesell / PD Dr. E. Hexel, M. Sc. J. Schacht
Höhere Algebra
WS 2015/16
Übungsserie 14
Aufgabe 1: Beweisen Sie die folgenden Aussagen.
a) (R, +, ·) ist ein euklidischer Ring.
b) Der Polynomring (Z[x], +, ·) ist kein Hauptidealring.
Hinweis: Man betrachte etwa das Ideal (x, 2).
Aufgabe 2: Weisen Sie nach, dass die folgenden Bedingungen für einen I-Ring
(R, +, ·) mit Eins äquivalent sind.
a) R ist Körper.
b) R[x] ist euklidischer Ring.
c) R[x] ist Hauptidealring.
Aufgabe 3: Man zerlege folgende Elemente in Primfaktoren:
a) x2 + 4x − 5 in Q[x]
b) x6 + x4 + x2 + 1 in Z2 [x]
√
c) 2 in Z[ 2]
Aufgabe 4: Es sei K ein beliebiger Körper und f ∈ K[x] ein Polynom. Man beweise:
a) Ist grad(f ) = 1, so ist f irreduzibel.
b) Ist grad(f ) = 2 oder grad(f ) = 3, so ist f genau dann irreduzibel, wenn f
keine Nullstellen in K besitzt.
c) Ist f irreduzibel und grad(f ) ≥ 2, dann hat f keine Nullstellen in K.
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Aufgabe 5: Für K = Z2 sei R der Restklassenring K[x]/a über dem Ideal a =
(x2 + x + 1).
a) Man zeige, dass R = {[ax + b] | a, b ∈ Z2 } ist und bestimme |R|.
b) Man zeige, dass R ein Körper ist und stelle für R die Operationstafeln bezüglich
Addition und Multiplikation auf.
c) Zu welcher Restklasse von R gehört x5 + x3 + x2 ∈ K[x]?
Aufgabe 6: Es sei K der Restklassenkörper Z2 [x]/(x2 + x + 1).
a) Man gebe K in Vektordarstellung an und löse das lineare Gleichungssystem
1 α
1
x=
1 β
1
über K, wobei 1 = 1K , α = (0, 1) und β = (1, 1) seien.
b) Man bestimme die Lösung der Gleichung x2 + αx + β = 0 für α = (0, 1) und
β = (1, 1) in K.
Aufgabe 7: Man entscheide, für welche der Zahlen n = 4, 5, 6, 9, 10, 12 ein Körper
K mit |K| = n existiert und konstruiere diese gegebenenfalls.
√
√
Aufgabe 8: Man führe die Adjunktion√der√reellen Zahlen
√
√2 und 3 zu Q schrittweise aus und bestimme
den Körper Q( 2, 3) = (Q( √2))(√ 3) durch Beschreibung
√
der Elemente. Ist 150 + √13 ∈ R ein Element von Q( 2, 3)?
Aufgabe 9: Es seien K, L Körper mit K ⊆ L und α, β ∈ L. Man beweise folgende
Aussagen:
a) α ∈ K ⇒ K(α) = K
b) K(α, β) = (K(α))(β) = (K(β))(α)
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