Lineare Algebra I - Mathematik, TU Dortmund

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Technische Universität Dortmund
Fakultät für Mathematik
Prof. Dr. Detlev Hoffmann
Stefan Höppner / Sven Wagner
Wintersemester 2011/2012
Übungsblatt 11
13.12.2011
Lineare Algebra I
Aufgabe 11.1:
Sei K ein Körper, und sei n ∈ N. Seien x1 , . . . , xm ∈ K n , und sei A die Matrix aus Mn×m ,
die x1 , . . . , xm als Spaltenvektoren hat.
Beweisen Sie den folgenden Satz aus der Vorlesung: x1 , . . . , xm sind genau dann linear
unabhängig in K n , wenn das zu A gehörende homogene lineare Gleichungssystem über K
nur die triviale Lösung 0 hat.
Zeigen Sie außerdem: Ist m > n, so sind x1 , . . . , xm linear abhängig.
Aufgabe 11.2:
Sei K ein Körper, und sei n ∈ N. Seien x1 , . . . , xm ∈ K n . Zeigen Sie: Gilt m ≥ n + 2, dann
gibt es α1 , . . . , αm ∈ K, die nicht alle gleich 0 sind und folgende Eigenschaften besitzen:
m
X
αj xj = 0
j=1
und
m
X
αj = 0.
j=1
Aufgabe 11.3: ((a) und (b) bilden zusammen eine Aufgaben, (c) bildet eine Aufgabe)
Im folgenden sind für verschiedene Körper K und natürliche Zahlen n ∈ N Untervektorräume von K n angegeben. Bestimmen Sie jeweils eine Basis dieser Untervektorräume.
     
2
1
1
(a) Lin  2  ,  1  ,  0  für K = Z/3Z (und n = 3)
2
1
1

 
 
 

10
16
24
32
 12   24   24   32 

 
 
 

(b) Lin 
 26  ,  52  ,  66  ,  64  für K = Q (und n = 4)
20
40
48
64
   
   
3
2
4
4










2 , 2
4 , 3  für K = Z/5Z (und n = 3)
(c) Lin
∩ Lin
2
0
1
0
Aufgabe 11.4:
(a) Zeigen Sie, dass für K = Z/5Z die in Aufgabe 8.4 (a), (b), (c) stehenden Vektorensysteme Basen von K[X]4 sind.
(b) Zeigen Sie, dass für jeden Körper K und alle n ∈ N0 das Vektorensystem Y0 , . . . , Yn
mit
j
X
Yj :=
X i (j ∈ {0, . . . , n})
i=0
eine Basis von K[X]n ist.
Abgabe bis Mittwoch, den 11. Januar, 12 Uhr in die Briefkästen im Eingangsbereich
des Mathematikgebäudes.
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