Blatt 10

Prof. Dr. W. Gubler
Ch. Christensen
Abgabe in den Übungen bis Mittwoch, 20.01.2010
Algebra I
Übungsblatt 10
Aufgabe 43:
Bestimmen Sie den Grad der folgenden Körpererweiterungen von
√
a) [i 3 ]
p
√
b) [ 2 + 2 ]
√
c) [ 5 5 ]
d)
Q
Q
Q
Q[e
2πi
5
Q.
]
Aufgabe 44:
Geben Sie den Grad des Zerfällungskörpers von x3 − 2 über
Q an.
Aufgabe 45:
Sei K ein Körper. Zeigen Sie, dass der algebraische Abschluss K/K bis auf K-Isomorphie
eindeutig ist. Begründen Sie, weshalb solch ein K-Isomorphismus zwischen algebraischen
Abschlüssen nicht eindeutig bestimmt ist.
[Hinweis: Verwenden Sie das Zornsche Lemma.]
Aufgabe 46:
Bestimmen Sie den Grad der Körpererweiterung
Q/Q und zeigen Sie Q 6= C.
Aufgabe 47
Zeigen Sie:
a) Ist G eine endliche, abelsche, nicht zyklische Gruppe, dann existiert eine Zahl d ∈
so dass d ein echter Teiler von ord(G) ist und für alle g ∈ G gilt g d = e.
[Hinweis: Verwenden Sie den Struktursatz aus Abschnitt I.8.]
b) Ist K ein Körper, so ist jede endliche Untergruppe von K ∗ zyklisch.
N,