Algebra I – Ferienübungsblatt

Universität Karlsruhe
Institut für Algebra und Geometrie
Dr. H.-P. Rehm
Fabian Januszewski
12.02.2007
Algebra I – Ferienübungsblatt
Aufgabe 1
Es bezeichne ϕ : n 7→ #(Z/nZ)× die Eulersche ϕ -Funktion. Zeigen Sie:
(a) Für teilerfremde m, n ∈ N>0 gilt ϕ(m · n) = ϕ(m) · ϕ(n) .
(b) Hat n ∈ N>0 die Primzerlegung
n
=
r
Y
pei i ,
i=1
so gilt
ϕ(n)
=
r
Y
(pi − 1)piei −1 .
i=1
Aufgabe 2
Es sei A eine endliche abelsche Gruppe. Zeigen Sie:
(a) Ist A eine p -Gruppe, so existieren natürliche Zahlen 0 < e1 ≤ · · · ≤ er so daß
A
∼
=
Z/pe1 Z × Z/pe2 Z × · · · × Z/per Z.
(b) Bezeichnen Sp1 , Sp2 , . . . , Sps ⊆ A alle nichttrivialen p -Sylowgruppen von A (zu den
Primzahlen p1 , . . . , ps ), dann gilt
A
∼
=
Sp 1 × Sp 2 × · · · × S p s .
(c) A ist isomorph zu einem Produkt zyklischer Gruppen.
Aufgabe 3
Es sei A eine endliche abelsche Gruppe. Zeigen Sie:
(a) Ist A zyklisch, so existiert eine Primzahl p ∈ P , so daß A isomorph zu einer
Untergruppe von (Z/pZ)× ist.
(b) Es existiert ein n ∈ N , so daß A zu einer Untergruppe von (Z/nZ)× isomorph ist.
Hinweis: Nutzen Sie die Zusatzaufgabe des 14. Übungsblattes und verwenden Sie in (b)
den Chinesischen Restsatz. Desweiteren könnte Aufgabe 2 von Nutzen sein.
Bitte wenden!
Aufgabe 4
Es seien m, n > 0 teilerfremd und es bezeichne ζ, ξ ∈ C eine primitive n -te bzw. m -te
Einheitswurzel. Zeigen Sie:
(a) Die Erweiterung Q(ζ)/Q ist galoissch vom Grad ϕ(n) .
(b) Die Abbildung G(Q(ζ)/Q) → (Z/nZ)× , σ 7→ a + nZ sofern σ(ζ) = ζ a , ist
wohldefiniert und sogar ein Isomorphismus von Gruppen.
(c) Es gilt Q(ζ, ξ) = Q(ζξ) und letztere Erweiterung ist vom Grad ϕ(n)ϕ(m) über
Q . Insbesondere ist die Erweiterung Q(ζ, ξ)/Q(ξ) galoissch vom Grad ϕ(n) mit
Galoisgruppe G(Q(ζ, ξ)/Q(ξ)) ∼
= (Z/nZ)× .
Aufgabe 5
Zeigen Sie:
(a) Aus den Aufgaben 3 und 4 ergibt sich, daß jede endliche abelsche Gruppe A als
Galoisgruppe einer Erweiterung K/Q auftritt.
Bemerkung: K läßt sich als Zwischenkörper einer Erweiterung der Form Q(ζ)/Q wählen.
Umgekehrt läßt sich zeigen (Satz von Kronecker-Weber), daß jede endliche abelsche galoissche Erweiterung K/Q in einem Kreisteilungskörper Q(ζ) enthalten ist.
In diesem Sinne:
(b) Zeigen Sie, daß für eine primitive 5 -te Einheitswurzel ζ ∈ C
√
Q( 5) ⊆ Q(ζ)
√
gilt und bestimmen Sie das Minimalpolynom von ζ über Q( 5) .
(c) Zeigen Sie, daß für eine primitive 8 -te Einheitswurzel ω ∈ C analog
√
Q( 2) ⊆ Q(ω)
√
gilt und bestimmen Sie das Minimalpolynom von ω über Q( 2) .
(d) Geben Sie, auf den Ergebnissen aus (b) bzw. (c) basierend, eine Konstruktionsvorschrift für das regelmäßige 5 - bzw. 8 -Eck an (unter ausschließlicher Verwendung
von Zirkel und Lineal).
Hinweis: Sie wissen bereits, daß es in√Q(ζ)/Q eine eindeutig bestimmte quadratische
Erweiterung K/Q gibt. In (b) ist also 5 ∈ K zu zeigen. Überlegen Sie sich hierzu, wie
das Minimalpolynom eines primitiven Elementes α für K/Q ausehen könnte. Studieren
Sie für (c) analog die quadratischen Teilerweiterungen K/Q von Q(ω) . Nutzen Sie Ihre
Kenntnisse über Galoistheorie!
Aufgabe 6
Es sei M eine Menge. Eine Gruppe F gemeinsam mit einer Abbildung i : M → F heißt
freie Gruppe über M , falls folgende universelle Eigenschaft erfüllt ist: Für jede Gruppe
G und jede Abbildung f : M → G existiert ein eindeutig bestimmter Gruppenhomomorphismus f : F → G mit f ◦ i = f .
Zeigen Sie, daß zu jeder Menge M eine freie Gruppe F (M) über M existiert und daß
eine solche bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt ist.
Hinweis: Betrachten Sie zunächst das freie Monoid (F, ⋆) über der disjunkten Vereinigung
˙
M ∪M
:= {(m, ±1) | m ∈ M} und betrachten Sie auf F die feinste Äquivalenzrelation
≡ , so daß (m, 1) ⋆ (m, −1) ≡ e und so daß F/ ∼ eine Gruppe ist.