Einführung in die Algebra, Bonus-Blatt über Gruppen WS 2016/2017

Einführung in die Algebra, Bonus-Blatt über Gruppen
WS 2016/2017
Jun.-Prof. Dr. Caroline Lassueur
Dipl.-Math. Pablo Luka
Abgabetermin: 16.12.2016, 12:00 (also zusammen mit Blatt 4)
Die Bearbeitung der Aufagben auf diesem Blatt ist freiwillig. Sie können bei jeder
Aufgabe zwei zusätzliche Punkte erwerben.
Aufgabe A. Bestimmen Sie alle Konjugationsklassen und alle Zentralisatoren für
die symmetrische Gruppe S3 .
Hinweis: Benutzen Sie die Bahnbilanzgleichung.
Aufgabe B. Bestimmen Sie alle Sylow-Untergruppen der Diedergruppe D10 aus
Beispiel 1(f).
Aufgabe C. Geben Sie fünf auflösbare endliche Gruppen an, die paarweise nicht
isomorph zueinander sind.
Aufgabe D. Seien p und q Primzahlen. Zeigen Sie, dass jede Gruppe der Ordnung
pq auflösbar ist.
Aufgabe E. Sei G eine endliche Gruppe und sei p ein Primteiler von |G|. Zeigen
Sie, dass es ein k ∈ Z≥0 gibt, sodass (p − 1)(kp + 1) die Anzahl der Elemente von
G mit Ordnung p ist und sodass kp + 1 die Anzahl der Untergruppen von G der
Ordnung p ist.
Hinweis: Schauen Sie sich den Beweis von Lemma 1.29 an.