Analysis I: Extrablatt für das erste Tutorium - FA

Prof. Dr. Bálint Farkas
Dr. Felix Schwenninger
Bergische Universität Wuppertal
WS 2015/2016
Analysis I: Extrablatt für das erste Tutorium
Diese Aufgaben dienen lediglich zur Übung, und werden im Tutorium am 5. November besprochen. Ihre Lösungen sind NICHT abzugeben.
Aufgabe 1. Das berühmte Feit-Thompson-Theorem besagt, daß jede endliche Gruppe ungerader Ordnung lösbar ist. Angenommen das Theorem gilt (obiges ist also eine wahre mathematische
Aussage). Was kann man auf die folgenden Fragen antworten (es ist möglich, daß mit unseren
Kenntnissen nichts sicheres gesagt werden kann):
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Gibt es eine lösbare endliche Gruppe der Ordnung 2013?
Gibt es eine lösbare endliche Gruppe der Ordnung 2012?
Gibt es eine nicht lösbare endliche Gruppe der Ordnung 2013?
Gibt es eine nicht lösbare endliche Gruppe der Ordnung 2012?
Wahr oder falsch: Falls eine endliche Gruppe nicht lösbar ist, dann ist sie von gerader
Ordnung?
(f) Wahr oder falsch: Falls eine endliche Gruppe lösbar ist, dann ist sie von ungerader Ordnung?
(g) Wahr oder falsch: Jede nicht lösbare endliche Gruppe ungerader Ordnung ist torsionsfrei?
(h) Wahr oder falsch: Jede endliche Gruppe ungerader Ordnung ist torsionsfrei oder lösbar?
Aufgabe 2. Falls heute Dienstag oder Mittwoch ist, dann sind wir in Großbritannien. Welche
der folgenden Aussagen folgen daraus?
(a)
(b)
(c)
(d)
Ist heute Donnerstag, so sind wir in Großbritannien.
Sind wir in Großbritannien, so ist heute Dienstag oder Mittwoch.
Sind wir nicht in Großbritannien, so ist heute weder Dienstag noch Mittwoch.
2 ist eine Primzahl.
Formulieren Sie die Umkehrung der Aussagen (a)–(c).
Hinweis: Sind P und Q Aussagen, dann verstehen wir unter der Umkehrung der Aussage P ⇒ Q die
Aussage Q ⇒ P .
Aufgabe 3. Es seien A, B und C Aussagen. Zeigen Sie:
(a) ¬(A ∨ B) ⇔ (¬A ∧ ¬B) (De Morgan’sche Regel)
(b) A ∨ (B ∧ C) ⇔ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C)].
Aufgabe 4. (a) Formulieren Sie in Worten:
∀ x (x ∈ R) ⇒ ∃ y (y ∈ R) ∧ (x < y) .
(b) Formulieren Sie in logischen Zeichen:
(1) Für jede natürliche Zahl n gibt es eine natürliche Zahl k derart daß k 2 < n gilt.
(2) Wenn es ein x gibt, sodaß für alle y die Aussage H(x, y) gilt, so gibt es zu jedem y ein
x, für das H(x, y) gilt.
Hinweis: Wir verwenden die Symbole R, Q und N für die Mengen der reellen, der rationalen und der
natürlichen Zahlen.