LuK - LS1 - Logik in der Informatik

Übungen zur Vorlesung
Logik und Komplexität (LuK)
Prof. Dr. Thomas Schwentick
WS 08/09
Übungsblatt 1
20.10.2008
Abgabe spätestens am 27.10.2008 um 16:00 Uhr, durch Einwurf in den Briefkasten links vor Raum 214 (OH16 zweiter Stock) oder zu Beginn der Vorlesung.
Die Abgabe soll für dieses Übungsblatt einzeln erfolgen. Sie dürfen (und sollen) natürlich in Gruppen zusammenarbeiten, müssen dann aber einzeln Ihre
Lösungen abgeben.
Aufgaben gelten nur dann als bearbeitet (und können für Sie mit Punkten bewertet werden), wenn außer der Lösung auch die dafür notwendigen Erläuterungen und Gründe für ihre Korrektheit abgegeben werden. Dies gilt auch, wenn
es nicht explizit in der Aufgabenstellung gefordert wird. Ein Beweis ist nur
verlangt, wenn dies ausdrücklich gefordert wird.
Die Quizaufgaben werden in der Übungsgruppe besprochen (in dieser Woche)
und sollen nicht abgegeben werden.
Quizfragen:
Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche sind falsch? Warum?
(a) Aussagen, die für beliebige Strukturen gelten, gelten insbesondere auch für endliche Strukturen.
(b) FinSat(L) und FinTaut(L) sind immer gegenseitig aufeinander reduzierbar.
(c) Für jeden endlichen Spielgraphen hat in jedem Knoten immer einer der beiden Spieler eine Gewinnstrategie.
(d) Das Auswertungsspiel für die Prädikatenlogik endet immer nach endlich vielen Zügen.
Aufgabe 1.1. [Auswertungsspiel und Gewinnstrategie]
Sei ϕ die Formel
(∀y E(x, y) ∨ E(y, x)) ∨ (∃y ¬E(x, y) ∧ ¬E(y, x))
(6 Punkte)
und A die Struktur mit Relationssymbol E zum folgenden Graphen.
a
b
c
(a) Geben Sie den Spielgraphen G(A, ϕ) an.
(3 Punkte)
(b) Geben Sie für jede Variablenbelegung β für x eine positionelle Gewinnstrategie für einen der beiden
Spieler an.
(3 Punkte)
Aufgabe 1.2. [Reduction von PCP auf FinSat (FO)]
Seien ~u = (100, 101, 00) und ~v = (1, 0010, 100).
(a) Geben Sie eine (möglichst kleine) Lösung für das PCP-Problem bei Eingabe ~u, ~v .
(4 Punkte)
(1 Punkt)
(b) Geben Sie eine endliche Struktur A, die die Lösung aus (a) wie im Beweis von Satz 2.9 (a) kodiert.
(3 Punkte)
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Aufgabe 1.3. [Endliche vs. unendliche Modelltheorie]
(3 Punkte)
Diskutieren Sie für jede der folgenden Aussagen, welche Unterschiede sich beim Übergang von der Aussage
für beliebige Strukturen zur Einschränkung auf endliche Strukturen ergeben. Insbesondere: Erklären Sie,
warum die Aussage für endliche Strukturen nicht aus der Aussage für beliebige Strukturen folgt.
(a) Craigscher Interpolationssatz
(1 Punkt)
(b) Bethsche Definierbarkeit
(1 Punkt)
(c) Teilstrukturerhaltung
(1 Punkt)
Aufgabe 1.4. [Variablenzahl und Formelgröße]
(6 Punkte)
Wir betrachten gerichtete Graphen mit zwei Konstanten c und d. Mit Dm bezeichnen wie die Aussage: es
”
gibt einen Weg der Länge ≤ m von c nach d“. Zeigen Sie:
(a) Für jedes k ≥ 1 gibt es eine FO-Formel mit Variablen {x1 , . . . , xk }, die beschreibt, dass D2k gilt.
(3 Punkte)
(b) Für jedes k ≥ 1 gibt es eine FO-Formel der Länge O(k), die beschreibt, dass D2k gilt.
(3 Punkte)
Erreichbare Punktzahl: 19
Mindestpunktzahl: 7