Einführung in die Logik für Informatiker

A
Fachbereich Mathematik
Dr. Mathias Kegelmann
Peter Lietz
Tobias Löw
Florence Micol
TECHNISCHE
UNIVERSITÄT
DARMSTADT
Sommersemester 2003
2. Juni 2003
Einführung in die Logik für Informatiker
Lösungshinweise zum sechsten Übungsblatt
Hausübungen
Abgabe in den Übungen am 9. Juni 2003
(H 16) Induktion über den Aufbau einer Formel
Zeige per Induktion über den Formelaufbau:
Wenn für alle x ∈ F V (A) gilt %(x) = %0 (x), dann gilt M, % A ⇐⇒ M, %0 A
Dabei ist F V (A) die Menge der in A frei vorkommenden Variablen.
Wir beweisen die Aussage per Induktion über den Aufbau von A.
Sei A eine primitive Formel. Für den Fall. daß A von der Gestalt A ≡ R(t1 , . . . , tn ) ist, wissen
wir aus der allgemeinen Algebra, daß die Interpretationen Jt1 K% , . . . , Jtn K% der Terme nur von der
Belegung der Variablenmengen V (t1 ), . . . , V (tn ) abhängt. Wegen F V (A) = V (t1 ) ∪ · · · ∪ V (tn )
folgt die Behauptung. Die Argumentaton für den Fall A ≡ t = t0 geht analog. Der Fall A ≡ ⊥ ist
trivial.
Angenommen für A und B gelten die Induktionsannahmen. Wegen F V (A∧B) = F V (A)∪F V (B)
gilt die Aussage dann auch für A ∧ B. Die Fälle A ∨ B und A → B gehen analog.
Es gelte die Induktionsannahme für A. Wir wollen nun zeigen, daß die Aussage auch für die
Formel ∃y. A gilt. Seien %, %0 Belegungen derart, daß für alle x ∈ F V (∃y. A) = F V (A) \ {y} gilt
%(x) = %0 (x). Angenommen M, % ∃y. A. Das heißt es gibt ein a ∈ M so daß M, %[y 7→ a] A.
Laut Induktionsannahme gilt dann auch M, %0 [y 7→ a] A, das heißt M, %0 ∃y. A1 . Mit dem
gleichen Argument folgt die umgekehrte Richtung und die Äquivalenz ist etabliert.
Der Beweis für den Allquantor verläuft analog zum Beweis für den Existenzquantor.
(H 17) Modelle
Seien Σ und M wie in Aufgabe (P 17) und sei A = R(x, f (y)) → x = y.
(a) Für welche Belegungen % gilt M.% A?
Welche Werte die Belegung % für andere Variablen annimmt ist aufgrund von (H 16) irrelevant.
(b) Finde ein Modell für A.
Das einfachste Modell wäre eines mit einelementiger Grundmenge. Eine andere Möglichkeit
wäre es, RM = ∅ zu definieren.
1
wenn %, %0 auf F V (A) \ {y} übereinstimmen, dann stimmen %[y 7→ a], %0 [y 7→ a] auf F V (A) überein.
x \y
0
1
2
3
0
w
f
w
w
1
w
w
f
f
2
w
w
w
f
3
w
w
f
w
(c) Gibt es ein Modell für ¬A?
Es gibt kein solches Modell. Es müsste ja für alle Belegungen % gelten JAK% = f. Aber für
jede Belegung %, die %(x) = %(y) erfüllt, gilt JAK% = w.
(H 18) noch ein Spiel
0
Es seien Σ, M und A wie in (P 18). Wir definieren ein Modell M0 durch M0 = (M, RM ), wobei
0
RM = RM ∪ {(1, 1), (2, 2), (3, 3)}.
Einfach gesagt, wir erweitern die Interpretation der Relation um die vier angegebenen Elemente.
Spiele das Verifikations-Widerlegungs-Spiel für M0 anstelle von M. Gilt A in M0 ?
0
Hier gilt nun tatsächlich A. Beachte, daß RM eine partielle Ordnung auf M ist, und daß A die
Existenz von Infima in dieser partiell geordneten Menge ausdrückt.
F (H 19)
Beweise Satz 6.6 aus dem Skript per Induktion über den Formelaufbau von A.
Wir beweisen den Satz für alle Primformeln und beweisen anschließend daß der Satz für zusammengesetzte Formeln gilt, falls der Satz für die Teilformeln gilt. Wir nehmen an, daß die Formel
keine Implikation, dafür aber die Negation als Grundoperation enthält.
Sei A eine Primformel. Dann gilt der Satz für A laut Definition der Spielsemantik.
Angenommen, der Satz gilt für A und B. Es gilt M, % A ∨ B laut Definition genau dann wenn
gilt M, % A oder M, % B gilt. Laut Induktionsvoraussetzung ist dies der Fall genau dann,
wenn V eine Gewinnstrategie für A oder B hat. Da im Falle des Junktors ∨ der Spieler V den
Zweig auswählen darf, ist dies der Fall genau dann, wenn V eine Gewinnstrategie für A ∨ B hat.
Der Fall A ∧ B funktioniert analog.
Angenommen, der Satz gilt für A. Es gilt M, % ¬A genau dann, wenn M, % A nicht gilt.
Das ist laut Induktionsvoraussetzung genau dann der Fall, wenn V keine Gewinnstrategie für A
besitzt. Da das Spiel endlich ist, bedeutet das, daß W eine Gewinnstrategie besitzt. Dies wiederum
bedeutet, daß V eine Gewinnstrategie für ¬A hat.
Angenommen, der Satz gilt für A. Es gilt M, % ∃x. A genau dann, wenn ein a ∈ M existiert,
so daß M, %[x 7→ a] A gilt. Das ist laut Induktionsvoraussetzung genau dann der Fall, wenn
V eine Gewinnstrategie für A bezüglich der Belegung %[x 7→ a] besitzt. Dies wiederum bedeutet,
daß V eine Gewinnstrategie für ∃x. A hat, da V sich einen Wert für x aussuchen kann.
Der Fall ∀x. A funktioniert analog.